Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVE.

Par suite,
2irF(x) (1 f(z)dz +?(z)dz
f /(z~dz + C ~ii1~ -- J X
A'. A - A'B ~ -- AB Z X
rF(z) dz
(5 representant le contour AN'BNA). La fonction F(x) est done holomorphe dans 5.
On peut remarquer que le theoreme subsiste, si a tout le nombre E correspondent des longueurs I et 1' et pour chaque point Mf de AB un chemin
N'MN variant avec M d'une maniere continue ct tel qu'en prenant sur
N'IN, de part et d'autre de M, les longueurs MIP - l, MIP'= 1, on ait,
quel que soit M, If(z) - (z') I <E, z et z' etant les affixes des points P et
P'. Cette condition est remplie par exemple si, z et z' etant deux points situes sur la normale en M a AB 'i la meme distance d de M, on peut prendre la
longueurd assezpetite pour que If(z) - (z') soitilnfrieur. Eie long de AB.
D'apres le theoreme qui precede, on voit qu'une fonction F(z) uniforSme
et continue cans une aire S est holo1mo7rphe dans S ou y prsesente des
espaces lacunaires; car, si elle est holonorphe en chaque point de S, sauf
peut-etre sur certaines lignes, elle est aussi holomorphe en chaque point de
ces lignes.
Ce theoreme permet egalement d'enoncer la proposition suivante:
Pour qu'une fonction f(z) definie du cote C de AB et hiolotmor7phe
da7ns le voisinage de AB soit continuable au deld de cette ligne, il faut
et il suffit qu'il existe une fonction de z, y?(z) definie du cote oppose C'
de AB, uzniforme dans le voisinage de AB et prena7zt la nmeme valeur
que f(z) en chaque point de cette ligne (a l'exception peut-etre des points
d'un ensemble ponctuel).
En particulier, si une fonction f(z) holomorphe dans l'aire S de contour
s prend sur une portion quelconque AB de s une valeur constante, elle est
une constante dans S. Par suite, si deux fonctionsf(z) et f, (z), holomorphes dans S, prennent sur la coupure AB les memes valeurs, elles coincident
dans S; car la differencef(z) — f, (z), nulle sur AB, est nulle dans S.
Les raisonnements qui prdcedent supposent que la courbe AB admet en
chaque point M (sauf aux points d'un ensemble ponctuel) une tangente