Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULItRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

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dV(x,.y) d V(x,,y) soit inferieur ha (n designe la direction MN). I1
dn dn
en resulte aussitot que
rF (sdLr dV1 ~Lr d-V
VL,, ( ) - dn (s)L r ds-=v(x,y)
[ 7- x x- Xo)2- - (y - o)2' (x, y) est un point de S, (xo, y) un point
OV dV
de s]. Cette egalite subsiste si d-' - sont discontinues en certains points de.)V dV
s, ne formant pas un ensemble lineaire, pourvu que les modules de, -
ne croissent pas dans S au dela de toute limite. Pour qu'elle soit exacte, il
suffit encore que V soit continue sur s, et qu'a tout nombre E corresponde une
longueur 1, telle qu'en prenant sur chaque normale MN a s la longueur
MP = 1, on ait, pour deux points quelconques (x, y), (x,,y, ) de MP,
dV(x,y) dV(xd,.y)
dn dn
Les lemmes (I), (II) et (III) s'etendent videmment, ainsi que les remarques qui s'y rattachent, aux fonctions f(x,y, z) de trois variables reelles, et
en particulier aux fonctions V(x,y, z) qui satisfont a l'equation AV -- o.
3. Nous pouvons des lors enoncer le theoreme suivant:
THIiEOnEME. - Soit une fonction f(.z) holontmor7he clans l'aire S de contour s, et prenant sur I'arc AB de s les valeurs f, (s). S'il existe unefonctiozn (z), holomorlphe dans un espace S' exte'rieur a S et altenant a
AB, qui prenne sur AB les valeursf, (s), la fonction F(z) egale a f(z)
dans S, a?(z) dans S', est hzoloornphe dans l'aire totale Z formee pai
les deux aires S et S'.
En effet, tragons dans S et S' les chemins ANB, AN'B. Si x designe un
point interieur au contour ABNA, x' un point interieur au contour ABN'A,
on a (le sens AB etant le sens direct du premier contour)
f.- )_, (f-(-dz I f i(z) d
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BAAN'B IBNA