Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

26

P. PAINLEVE.

De pins, ('<)6tant un second point de AB,
f1(S') - f1'(s) z fx (s) dx -~f(s) dy.
On en conclut que f (s) admet line de'riv~e'f (s), 6guale Ch
(~designanL l'angle avec Ox de la tangente en M ' l'arc AB men'e dans lo
sens des arcs croissants).
Le raisonneinent s'e'tend an cas oii les axes Ox et Oy ne sont pas rectanognla'ires.
En particnlier, si ut -f(z) est nne fonction holomorphe dans S et si sa
d'rive'e,f'z) tend vers f'(~) qnand z tend vors nn point ~ de AB,
lin f Z -f m g) de pins, f ~)_ ~ Lend vers f'(~) qnand tend
vers sur AB. On voit qne la conrbe ATB', qne de'crit le point a qnand ZI
de'crit AD, a nne tangente en chaqne point, et qn'a' tonte courbo MN, de'
crite par z dans S et conpant AB sons nn certain angle, correspond dans to
plan des u nne conrbe M'N-' conpant A'B' sons le me'me angle.
Une fonction f(x, y) pentL prendre snr AB los valenrs f (s), f,(s) admetLtant nne de'rive'e f' (s), sans qne les de'rivees J? continnes dans S, tendent vers nne limite le long de AB. Ii est facile de former des oxomples do
cette singnlarite6 qni se pr-esenle 7necessair-ernent sif' (s) est discontinue,
dx, et ~~Y etant continnes lo long de AD. Mais lions dc'montrerons dans la
ds ds
snite qne, si nne fonction f (z) holomorphe dans S prend snr AD les valenrs
f,(s),f f(s) admettant nne de'rive'o continne f, (s), la de'rive6e f '(z) pren7d
udecessair-ement sur- AB les valeurs f'~ f (s) - (ceci snppose tontofois qne, lo long do AD, los de'rive'es d~d~eitent et soiont continnos)
Une dernie're conseqnence est relative anx fonctions V (x, y) re'gnlie'res
dans S et satisfaisant 'a l'6qnation AV -o. Si los de'rivees -~, -jy_ pronnt
snr Jo contonr s nne snite continne do va~llnrs, il on ost do me'me do V(x, y);
do pins, on pent prendre snr chaqne normnalo MN 'a s line longnenr MP -I
assez petite ponr qne, los points (x, y) et (x,, y,) e'tant compris entre M et pi