Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

24[ P. PAINLEVE.
sont inf~rieurs respectivement 'a M, I et M, 1, M, et M, e'tant les modules
maxima de F(z) sur AP, et sur BP,. Ii en resultc qu'on peut prendre la
lonugeur I assez petite pour que l'on ait
fF(z)dz -fF(z)dz < 7,
etant un nlombre positif aussi petit q'nvn;mi
J FIB z) dz -fF (z) dz.
Cette derni~re int~grale est donc e'gale 'a F F(z) dz.
On en conclut imme'diatement que, si s' de'signe le contour forme' par AB
eL une ligne ANB de 5, x 6tant un point int~rieur 'a cc contour,
If F (z)dz -F(x).
Cette e'galite' est encore -vraie quand F(z) est continue SUr AB, sauf en
cer-tains points a, b, c,... ne formant pas un ensemble line'aire, pourvu
quo, si l'on trace dans S une ligne a7 (forme'e do plusieurs parties) et se'parant les points a, b, c,... du reste de 5, / 1(z) d tondo vers o avec la
lonugeur totale de o-. Cette condition est toujours remplie quand IF(z) Ino
cotpas dans lo vosnge de AB an dela' de toute limite. An cas contraire,
l'inte'grale I F(Z3)d pout avoir un sens et no pas repre'senter F(x). Par
oxcinpie, supposons que s' soit forme' d'un segment de Ox et d'un demie- 4dI
corcic ayant son centre 'a l'origino, f n' a pas pour valeur e
Lernine III. -- Si une fonctionf ~ )uiom dn de es didf a{
vees par tiolles )-continues dans Oct espaco et pronant sur AB los valcurs
dxOy
fx(s), fy (s), lafo nction ~f (Ido~signant une direction quelconque)pr-end
aussi sur- AB une suite continue de valeur's fl(s), etlla valeur- du r-appor-t
f (X, y) -fA1(S) lend ver-sf1 (s) quand le point (x, y) de S lend ver-s M sur
Al
une par-allde MIN a' 1.