Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEd.

MP, Xy, un point do MP1,, f(x, y) - f(x4,,y,) ~ (s) < E, quel quc
soit le point M sur AB. Le raisonnement s'ache've commne prece'demment.
Do nmeoe, si la diff6rence f(x, y) - f(x1,,y,) ten d vers Ck'(s) quand le
point (x,y) de S et le point (x,,y,) de S' tendent vers M d'une manie're
quelconquo, la fonction?(s) est continue, et les fonctions f(x,y) et
f (x1, yI) prennentL sur AB une suitLe continue de valeurs.
Do cc qui pre'cede, iR re'sulte qu'il est impossible quecf(x'~y) prenne sur
AB une suite discontinue de valeurs. Ii arrive qu'a' chaque point M do AB
correspond un chomin MN, tel quo f(x, y) tonde, sup co chemin vers f (s),
f,(s) e'tant discontinue; rmais sur des chomins infiniment voisins do MN, la
valour doef(x, y) no tend vors aucuno limito on tend vors une limito diff&rento deof (s). Onlo -voit diroctomont, on romarquant qu'il oxisto des points
M' aussi voisins do Ml quo l'on vent sur AB, pour losquols If, (s -+ I) -f (s)I
ost supe'riour 'a un certain nombro a. Si l'on proud sur MN, M'N' deux
points (x, y), (x', y') tre's voisins do M et do M', J(x, y) etLf(x', y') diff&rontL tre's pou cle f.(s) otLf (s -~- ih), et sur un chomin quolconquo joignant cos
douix points, f prond toutos los valeurs internehdiairos entro fAx, y) ot
f"x', y') pour dos points (x, y) aussi voisins do Ml quo l'on -vout,
fAx, y) - J,(s) IestL donc supe'rieur atiuno certaino valour.
La menmo sin gularite' pout so presenter, f,(s) e'tant continuo. Supposons
par oxomplo quo la courbo s soit forrn'o d'un sogmont do Ox ot d'un domicorelo ayant l'origine pour contro. La fonction e Z, continue dansS, tondsur
Ia normalo on Ml h svrun valour f (s) +i i~f2 (s), fonction con tinuo do
['arc s. En particulior, quand z tend vors l'origino sur l'axe des y, e- ~ tend
vors 0; maispu d'autros diroctions O1\I e cro'it au dola' do touto liunto (.).
11 importo aussi do fairo la remarque suivante: soit F(z) une fonction do
(1) Soit encore un cercle C de centre 0 et de rayon R. La fonction
f(Z) =e[2 C()4-, ~(X,y) — i4 (X,y)
(i dosignant un point de in circonf~rence C) est holornorphie dans C, et qiland z tend vers
un point ~ de C sur un rayon OM, f'(z) tend vers la ivaleur f'( = I('s) -1- i ~j(s), fone -
tion continue de Fanc s de C. Mais Jf(z)jI croit au deth de toute limite quand z~ tend vers a(
sur certLaines directions. 11 existe une fonction V(x,y) et une seule, satisfaisant A 1'6quati()n AV = o, r~guli~re danS C, et prenant sur s les valeurs VI (s) (V1 6tant fonction eon