Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULItRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 2

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Soient donc NI4 et NI2 les extr~mit~s des deux arcs MM1,I M M2, dont la iongueur est -; NI' 6tant compris entre Mi et M2, faisons tendre vers M' le point
(x, y) de C; f(x, y) tend vers f, (s -v 4) et, d'autre part, si l'on pose,f(x, y) - f 1(s) ~ ~, on a constamment I s~I"; par suite, limrn~ ou
LI4(s -i- h) -f (s) Iest au plus 'gal h F_ La fonctionf, (s) est donc con tinue.
De plus, NI' et NI'2 de'signant les milieux des arcs M.,M, M ahtu
point NI' de l'arc M', M' 2 correspond un cercie C' de centre M' et de rayon an
momns e'gal 'a L2 tel que, (x, y) 6tant un point de S inte'rieur 'a C,
I f (x~y) -fA(S~ Ii)
soit au pius e'gal 'a'2E. En raisonnant sur NI' et NI' comme sur NI et ainsi de
suite, on atteindra les extr~mit's A, B de l'arc AB, a momns que le rayon.r
-des cercies C ne tende vers o, quand leur centre NI tend vers un certain point L; mais ceci est impossible, car 'acc point L correspond un
cercie C,, de rayon 14i, tel que, (x, y) variant 'a l'inthrieur de C,,
f Ax, y) - f,(s) I ne soit pas supe'rieur'a E) et, par suite, aux points NI voi.sins de L correspondent des cercles C de rayon au momns e'gal 'a Li. En de'fi-.
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nitive, on pent trouver une certaine longueur p, telle que, (x, y) e'tanL un
point de S inte'rieur 'a un cercie C de centre NI et de rayon 7r, on ait, quel
que soit NI sur AB,
If(X, y) -f (S) I 2 El
cc qui prouve quef x, y) tend uniforme'menL versf, (s) le long de AB.
On dit, dans ce cas, que la fonctionf(x,y)p7rend sur- AB les valeur-s
f(s):la fonction est continue danis S et SUr s.
Onpeut compl'ter ces remarques par les suivantes: soit une fonction
f (x,y) de'finie de part et d'autre de AB dans des aires S et 5' oils elle est,
uniforme et continue; si 'a chaque point NI de AB correspond un chemin
NMN, variant avec NI d'une manie're continue, et tel que, les points (x,y)
et (x,,y,) de S et de 5' tendant v\ers Al sur' NMN., f(x, y) -f (x,,y4)
tende uniforme'ment, le long de AB vers la valeur f(s): 10 cp(s) est une
fonetiont continue de s; 20 lafon1Ctionf(X, y) cle/linie clanS S.pre0ncisur- AB
une site ontiue d valursf, (s), et la fonctoionf, (xi, y-) clefn nie clans
S'pr-endl sur- AB les valeur-s f,(s) -+-?()
On part encore de cc fait qu.'il existe une longuciur I telle, qu'en prenant
sur MNANM les arcs NIP et ANIP de longucur 1, on ait, si (x, y) est un point de