Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

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une direction OA, sans que f'(z) tende vers 0 dans cette direction. Mais,
dans ce cas, If(z) I croit au dela de toute lirmite pour des directions infiniment voisines. La fonction sin(z) est un exemple de cc fait.
CHAPITRE II.
1. Soit F(z) une fonction de z definie dans une aire S de contour s, out
clle est uniforme: AB etant un fragment de s, la fonction F(z) est dite continuable au dela de AB s'il existe une fonction f(z) ddfinie de part et
d'autre de AB, coincidant avec F(z) dans une portion finie de S attenante
a AB, et holomorphe pour tous les points ' de AB, sauf pour des points
ne formant pas sur AB de suite lineaire: autrement dit, pour chaque point
' de AB (a l'exception peut-etre des points d'un ensemble ponctuel), il existe
une fonction f() )rpresentee par.une serie de Taylorr(-) a,(z - ),
et qui coincide avec F(z) dans une portion de S. I1 cst clair quc, pour
chaque point (, il ne saurait exister qu'une seule serief(z): c'est cc qu'on
exprime en disant qu'une fonction continuable n'cst continuable que d'une
seule maniere. La coupure AB est dite alors coupure ar7lificielle de la fonction F(z): c'est une coupure essentielle, si la fonction F(z) n'est pas continuable au dela de AB.
Une condition necessaire (mais evidemment insuffisante) pour que la
coupure AB soit artificielle est que F(z) tende vers une valeur F, (() quand
le point z de S tend vers un point $ de AB (i l'exception peut-etre des points
' d'un ensemble ponctuel). Pour trouver la condition suffisante, nous nous
nous appuierons sur quelques lemmes trcs simples, qui ressortent de la
theorie de la continuite et que nous 6noncerons tout d'abord.
2. Lemine I. - Soit une fonction quelconquefdes deux variables reelles
x, y, uniforme et continue dans l'aire S. Si ia tout point M de AB correspond un chemin MN variant avec M d'une maniere continue, ct tel que, le
point (x, y) de S tendant vers M sur MN, f(x,y) tende uniformmnent le
long de AB vers la valeur / (s) (s designant l'arc AM): I ~, (s) est une
fonction continue de s; 2~ J(xy) tend vers f, (s) quand(x, y) lend vers
M d'une JaCon quelconque.