Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULI1tRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 1

1 7

1-0. Les the'ore'mes qui precedent nons seront utiles dans la suite. Ils s'e'tendent facilement aux s~ries dont les termes sont des fonctions holomorphes dans un certain domaine de plusieurs variables complexes, z, it,.
Leur application 'a la se'rie de Taylor, dans le cas d'une on de plusieurs variables, est immediate et 6vidente. Une autre consequence tre's simple est
relative aux produits de la forme Ilf(zl). Si les fonctions LJ,,(z) sont htolomorphies dans une aire S et continues sur son contour s, et si le produit
converge uni'forme'ment sur s, it converge uniforme'ment dans 5, et repr&'
sente une fonction holornorphe de 1z' dans cet espace. Si te produit des modules R,~ des J,,(Iz1) converge uniforme'ment stir s, le the'ore'me est encore
vrai 'a condition de remplacer dans e'~nonc6' S par un espace quelconque 5'
inte'rieur 'a S.
IRevenons 'a la question qui nous a conduit 'a cette e'tude. Quand une s~rie
de la forme If,,(z) converge uniforme'ment dans une aire S oii lesf,(z-')
sont holomorphies, elle represente dans S une fonction holomorphe de z. II
est impossible qu'une telle se'rie converge uniform~ment dans une aire S,
sauf en des points isole's, si ces points ne sont pas des points singuliers des
f,,(z). Supposons qn'elle converge uniforme'ment dans une aire 5, sauif aux
points singuliers desfQz), et sur une certaine ligno L: si celto ligno n'esL
pas singulie're pour une on ptusieurs fonctionsf,,(z), elle rencontre lo con-'
tour s de 5, Ia momns que tes fonctionsf, n'aient des points singuiliors situe's
sur L on tendant vers L, quand n croit inde'finiment. Autrement, en retranchant plusieurs termes de la se'rie, on obtiendrait une serie dont tons los
termes seraieut holomorphes 'a l'inte'rieur d'un contour ferm6' S' entotirant
L, et cette se'rie, convergeant uniforme'ment sur s',, convergerait uniformc'-,ment 'a l'inte'rienr. Ceci suppose les JA(z) uniformes dans S, sinon L petit
etre encore une ligne ferme'e entourant les points critiques d'une infiniVe do
fonctions fA.
Enfin, admettons qn' une se'rie de fonctions analvtiques YJ,,(z) convergfente dans une aire S, oiui les f,,(z) sont holomorphes ne represente en ancune portion de cette aire une fonction analytique: cette s~rie no saurait
converger nniforme'ment dans ancune partie de S, ni sur aticuin contour
ferm6 de s' si petit qu'it soit. De plus, it existe une portion de s' pour laquelle
la se'rie ne converge uniforme'ment dans auicun intervalle, on bien to module
miaximum de S,,(z) sur s' crolt avec ni an dela' de toute limite. En dernier
lieu, si fn (z) -, (x, y) +i i u,z(x, y), les cleux series I c,, et u, doivent
presenter respectivement tes me'mes singularite's. Cos conditions e'tant sup

P.

3