Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

P. PAINLEV1L

Remarque. - Si S comprend le point oc, s ayant tolls ses points 'a distance finie, chaque. fonction c, holomorphe dans 5, cst holomorphe pour
le point oo: c(o)= a,,. Quand la se'rie la est convergente, le th~ore'me if
5' applique encore 'a 'espace S. IL suffit de prouver que la se'rie
converge dans S uniforrn~ment: pour le voir, on pose
x z~~~~~~~~~~
(l'origine est suppos'e exte'rieure h 5): la se'rie ~ t x~~z)atons ses
termes re'guliers dans 5', continus sur s', et converge uniform~ment sur s',
par suite dans 5': on en conclut qu'il en est de me'me dans S de la se'rie
Si la surface s a des points 'a l'inflni et si' les fonctions V. re~gulie'res dans
5,sont re'gulie'res aussi au point o[o a] n ot e mloatL
neme transformation, que la se'rie l -', converge dans S uniformement,
quand a s~ri ~ru,(Xiy z1-) converge uniforme'ment sur s, la s'rie Ita,,
etant de plus convergente (r1 x- y +z)
8. La se'rie N evn(x, y, z) convergeant dans S uniform~ment, la fonction
V(x, y, z) est continue dans S et sur s: quand (x,y, z) tend vers le point
(~ ~~~ de s, V(x,y, z7) tend vers la valeur V'~ ~ )-Yla~ ~ )
Comme la remarque s'applique au cas de deux variables, on en de'duit que, 51
La se'rie Ifn (z) converge sur s uniformernent, elle COne7rge uniformedment
dans 5, et, par suite, quand z tend vers un point de s, Yof,1(z) tend vers
La valeur If () ce qui ne re'sultait pas de la premie're demonstration.
Q uand la se'rie Y, v1 x y, z) ne converge pas uniforn-i~ment sur s, le the'oremne n'est plus dermontre'. Toutefois,. en s'appuyant sur la formule
d- dV i
rnement sur s, sauf sur des lignes de s.