Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULItRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

Ir I

points a l'infini: mais on ramene tous les cas a celui-lh a l'aide de la transformation z -- le point a 6tant exterieur a S..1 - (/
7. On peut donner du theoreme II une demonstration qui s'applique aiu
cas ou Faire S est a contour quelconque et au cas o0i les termes,, do la
serie dependent de trois variables.
Soit done dans l'espace un volume quelconque S, n'ayant pas de poilnt
a l'infini, et limite par une surface s a connexite quelconque. Si la serie
V(x,y, z) = n(x,y, z) (dont tous les termes sontl des fonctions rcgulieires dans S, continues sur s, et satisfont a l'equation Av -- o) conzveCge
sur s uniformzement: I~ elle converge uniformedmeent dans S; 2~ les series (a) formcespar les derieees de ses termes convergent ulnifo7rncnemnt
dans tout espace S' interieur a S et sans point commun avec s.
En premier lieu, si l'espace S est une sphere, on etablit comme dans le
plan, en partant de la formule
4 T:,,t(X,,,) - ffRI -a(, I,;;) cds,
que les series (a) convergent uniformement dans l'espace S'. I1 en resulte
que, si la serie V converge dans S uniformement (S etant quelconque),
les series (a) convergent dans S' uniformement.
Tout revient done a demontrer la premiere proposition. Considerons
pour cela la somme
p?(x,), ) =-,(x,yz).
Cette fonction? est reguliere dans S, continue sur s, et satisfait l' equatior
A? = o. Elle ne presente dans S ni maximum ni minimum, et, par suite,
pour tout point (x,y, ) de S, la valeur de c? est comprise entre la plus
grande et la plus petite valeur de? sur s, ou egale a l'une de ces deux valeurs. Si [. designe le module maximum de? sur s, le module de cp dans S
est au plus egal a pi. D'autre part, on peut, par hypothese, trouver un entier
v assez grand pour que, quel que soit p, (x,y, z) j soit sur s inferieur ai
un nombre positif donne ~, autrement dit pour que p. soit inf6rieur a E. Pour
v+F
tout point de S et de s, l'expression V e,,(x,y, z) a done, quel que soit p,
un module infdrieur 'a -: la serie V converge dans S uniformement.