Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVEI.

parcourt s. D'apres le lemme I, la serie
est convergente, ct de plus, pour les valeurs de n qu'on vient de definir, le
reste de cette serie R,(x) a un module inferieur a l~ (I etant la longueur
de s), quelle que soit la position de x dans S' ct sur son contour. D'autre
part,
f,(z~)d, _ 217_ f,(x).
(2 - X)p+ - 1 2 I2... p i
La serie ZfP(x) converge done uniformement dans S'. On deduit sans
peine du lemme II qu'elle represente la derivee pime de la fonction F(x),
definie par la serie convergente If, (x).
Le theoreme est encore vrai, si chacun des termes f(z) est discontinu
sur s, en des points a,, a,,..., ne formant pas de suite lineaire, pourvu que,,(z) I ne croisse pas dans S et sur s, au dela de toute limite. II suffit de
repeterleraisonnement precedent, en remarquantquel'integrale ( ft (+
a un sens et represente encore ---- f,(x), ainsi qu'on le voit facilement.
Le theoreme subsiste meme si la serie converge uniformement sur,
sauf en des points a,, a2,... (ne formant pas de suite lineaire), pourvu que
le module maximum de S,(z) sur s ne croisse pas au dela de toute limite
avec n. II suffit de raisonner comme precedemment, en appliquant le
lemme I generalise.
6. TIElOREME II. - Soit un espace S, admettant la representation conforme sur un cercle, et une serie IEn(x,y) les fonctions %c,(, y), qui satisfont dans S a l'equation A,=- o, sont uniformes et regulieres dans cet
espace, et continues sur son contour s. Si la serie
V(x, y) =- (, (x,y),
converge uniformement sur s: ~ elle converge uniformement dans toute
ai7e S' inte'rieure a S, et sans point commun avec s; 2~ les seriesformedes
par les derivees partielles des termes de V(x,y) convergent uniformement dans S', et representent les derive'es partielles de V(x, y) dont