Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

I T

Ces remarques faites, considerons une serie de la formc
ou de la forme
9,i (xZY).
Une pareille serie converge uniforncment dans 'ailre S quanld,,i tout
nombre positif s, correspond un entier v tel que, n 6eant superieur ou egal h
v, on ait pour tout point z (ou x,y) de S et de son contour
| R,I(z) I ou R, (x,y) <E.
Si une serie converge uniformement dans tout espace o interieur a S et
ne renfermant pas certains points z' ou certaines lignes 1' de S, nous convenons de dire que la serie converge uniformdmeent, saufaux points z' ou sur
les lignes 1'.
La serie converge unifor-ndement sur7 une ligne AB [x -g(t),
g = h(t)], si la serie
Afl[z(t)] ou z9,[x(t), Y(t)]
converge uniformement entre to et t, (to et t, etant les valeurs de t qui correspondent aux points A et B).
5. Nous pouvons des lors enoncer le theoreme suivant:
THEOREME I. - Soit une sedrie Zf(z) = F(z) et une aire S a contour
quelconque: si les fonctions fn(z) sont holomo07phes dans S et continues
sur s, et si la serie F(z) converge sur s uniforme'ment: i la se7ie F(z)
converge uniformdmemnt dans toute aire S' interieure a& S et sans point
commun avec s; 2~ les series formees par les derivees successives des
termes de F(z) conver7gent uniformement dans S' et r7epr7esentent les derivees successives de F(z) dont l'existence est ainsi demontrde.
Formons en effet la serie
(Z X)P'I
et appelons M le module maximum de -- quand z varie sur le con(z - X)Py
tour s, et x dans l'aire S'. On peut, quel que soit s, trouver un entier v assez
grand pour que, n etant superieur a v, I MRn(z) ] soit inferieur a ~ quand z