Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVE.

ces points, la serie peut etre divergente. Si le module maximum de S,,(t)
entre to et t, ne croit pas au dela de toute limite avec it, le lemme I s'applique encore a l'intervalle t t,.
Pour le voir, il suffit de decomposer lintervalle tot, en deux parties s et
s' (formees d'ailleurs d'intervalles separes), s' renfermant toutes les valeurs
i', t",.... Soit M la limite superieure de I ( S t). On peut touj ours prendre s
de telle sorte que M dt soit inferieur a un nombre positif E aussi petit
qu'on veut: cela fait, il existe un nombre n assez grand pour que, p etant
un entier quelconque, on ait dans tout l'intervalle s
I S,+p(t) —S(t) I <S.
Si donc on designe par S' la somme des n premiers termes de la serie
t,
Z q, (t)dt,
le module de la diffdrence (S, — S,) sera, pour la meme valeur de n, inferieur 'a [7- s(I + 2)1, si I est la longueur du segment tot. La nouvelle
serie converge donc, et il apparait aussit6t qu'elle represente l'integrale de
f(t). II suffit, pour que le raisonnement s'applique, que I S,, (t) dt tende
vers o uniformement avec s' (quel que soit n).
I1 convient d'ajouter qu'une serie Z?,,(t) peut converger dans un intervalle t t,, sans converger uniformement dans aucun intervalle fini, si petit
qu'il soit. Soit par exemple une fonction/f(), a variation limitee entre -
ct + -,, et discontinue dans tout intervalle, ainsi que la suite dc valeurs
*(t 4-do) -/(t-o)
/ '( t + o) +f( t ---). La serie
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If s tn; f(d3)d CS3 I
converge dans l'intervalle - i, +-, et represente dans cet intervalle
f(t o- ) +f(t - ). Commme ses termes sont fonctions continues de t, elle ne
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converge uniformement dans aucun intervalle (sinon, sa somme scrait fonction continue de t dans cet intervalle).