Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULILi PES DES FONCTIONS ANALYTIQIJES.12

129

Enfin, si Von emploie la me'thode de M. Hermite, on voit quo
F (x) — f (sn x) -+ cn (x) dn (x) p [sn (x)],
et l'on sait de'velopper f (t) et yt) qui ont n singularite's dans le plan.
Los fonctions de premie're et do seconde espece s'obtiennent do la me'nie
mnanie're; mais jo n'insiste pas davantage sur ces considerations, dont le
seul inte'ret est do montrer la ge'neralite' des raisonnements sur lesquels
repose la the'orie des points essentiels.
5. Extension des the'or-emes prec'cdents aux fonZclions V(X, Y, Z;O)
qui sat Sfoni 71t l'd1equation AV o. - Los the'ore'mes quo nous vonons
d enoncer out lours corrospondants dans Fe'tudo dos fonctions Y(x, y, z) do
trois -variables, qui satisfont 'a e'~quation AV — 7o. Nous -nous conlontons do
los e'noncor: los demonstrations so de'duisont do collos qu'on a donne'os dans
le plan, 'a condition do raisonuor sur l'int~graled / c/s
dn r — -dni
comme sur ff(z)d
io Une fonetion ajfectede de n sin gudarild's (sans points coininuns) est
la soinme de n1 fonctions YVp n'ayant cliacune qu'une sin g1ular-itd.Lorsqu'une ligno L divise une surface coupure a on deux parties a, et C7 ot
quo, sur uno surface s travorsant g e1 passant par L, V et SOS de'rivees promie'res no croissont pas au dola' do touto limito, on pout decomposer la fonction qni admot a comme coupuro, on uno sommo do doux. fonctions adruettaut respectivemenon los conpures g, ot (72 * Cotto decompositiou ost possible
dans tons los cas, 7a condition d'ajouter uno coupuro arbitraire s.
20 La sommre dos re'sidus do V est nullo d ans tout 1'espaco, on d6finissaut
convenablement le re'sidu relatif an point 'a l'infini. (Lo re'sidn do o7 st lava
lenr do l'iutegrale de'finie f jIds, s entonrant la sonle singularite' 7.)
Quand V(x, y', z) pre'sente dos ospaces lacunaires sur la surface des.quols
V est continue, on pout de'velopper los fouctious VP, sons los formos (2), (3)
on (4). La somme dos coefficionts do cos de'voloppements qni representent
los re'sidus est nullo.
30 Lorsquo los singulari Les S,~ do V formont uno suite ayant pour limito S,
on pout encoro nitottro Y(x, y, z) sons la formo W(x, y, Z,) +d Y, V,(x, y, z),
los V,(x, y, z) n'ayant qn'nno singularite' S,, et des po'los sur S, et W(x, y, z)
P. ' 7