Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGUL1JIIES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.12

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On voit quelle diversit6' de formes on pent donner aux de'veloppements,
pr'c'dents. La seule difficult' pratique de la m'thode r'side, comme pour
le cas des points essentiels, dans le calcul direct de la fonction designee par
G(x) et qui admet L comme coupure.
Ii est facile de's lors, de former l'expression la plus generale des fonctions,
simplement et donbiement pe'riodiques. No'us dirons, un mot de ces dernie'res.
4. Application1s aux fouct0ios doub/eremintpc7riodiques. - En premier
lieu, le the'ore'me des re'sidus, et lc the'ore'me de Liouville subsistent quand la
fonction doublement pe'riodiquc F(x) admet des singularite's quelconques;
car es ntegate F () d ef F' (z c/z (P de'signanlt le paralle'logramme
des pe'riodes) sont nulles. Domw la somme deS riesidus et ce//c des ordr-es
somi nid/es dans P.
Si., de plus, on considere l'inte'grale 2' CoiF'Qz)s dine
en la mettant sons la forme
qWC sa valeur est de la forme n o~ +~ mci, w et wi de'signanL les pe'riodes.
D'autre part, soit f (x) une fonction holomorphe et ne s'annulant pas 'a
l'exte'rieur d'un cercle" C de centre a, f (X se de'veloppe dans cet espace de
la manie're sui-vante
f'(x) a1 cc ____
etl'on a
fzf'Qz) dza=i- ac.
Si Von considere chaque fonction fi(x) -f F(z) dz [aientourant un
seul zero on une seule singularite' de F(x)], la somme des quantite's nja, ~[ ai1,
dans P, est de la forme mci +o mcin'.
En particulier, supposons qn'on de'veloppe la fonction fj(x) en somme