Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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1). PAINLEd.

F(x) est alors de la forme
V I~~A
La somme ',es[ nulle, car Al. est le re'sidu relatif 'a chaque coupure L,.
Les d6veloppements ( 2), (3), (4t) peuvent ne pas s'appliquer aux fonetionls?,(x); nous avons indique' dans quels cas an Chapitre precedent. On
tacehe alors de decomposer les fonctions exceptionneiles?, (x) en une sormie
de fonctions pour lesquelles ces de'veloppenments conviennent. Mais la chose
n'llest pas r.6alisable ne'essairemenL. Ces cas e'art's, la fonction F(x) peuL
se meatre sons la forme d'nne somme de p series (2), (3) on (4t). Nons
avons indique' les valeurs des re'sidus en fonction des coefficients de ces s'
ries: la sorume de ces valeurs est nulle.
Ces de'veloppements fournissent antant de formes de decomposition en
produit de F(x): par exemple, la forme (i) donne
i- I
La somme I,j-4- 1pi est nnlle.
3. Snpposons maintenant qne F(x) admette dans le plan une infinite' de
sin gulari Les L1, L,,.. Ln,.. sans points commnns. Chacune d'elles, L,
suite on non d'autres singularite's, pent tonjonrS etre entoure'e d'nne certamne aire S 'a double conLonra Ftlinte'rieur de laquelle F (x) est holornorphe:
F(x) pent se de'velopper dans S -a l'aide des series ci-dessiis, on bien
encore, en se rappelant que 1'aire S admet la representation conforme sur
une couronne limite'e par deux cereles concentriques, on met F(x) sons la
forme
n + o
[f (x) -a],,
\ n,
C'est la ge'neralisation dn -thcore'me de Laurent. On pent de'finir la fouction caracte'ristique de la singnlarite' L comme dans la the'orie des points