Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULItRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.12

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comme coupures la premie're une ligne MCAM,, la seconde fune ligne
NCM LM est un point arbitraire qui, parfois, pent se confondre avecA
notammeut Si fF (z) dz necot pas ind'finimenL quand ztend -versAl
Quand la coupure L est une ligne ferm~e', on peut decomposer J (x) eni
une sonmme de deux fonctions f, (x),- f, (x) ayant respectivement pour conpures les lignes CED, CFD, et les deux coupures artificielles communes
M CN, M' D N,. Si l'oi remarque que f, (x) et f2 (x) dev~ienuent infinies
aux points M, N, M,, N1 comme log(x) pour x -o, ii est clair qu'on pent
decomposer f, (x), par exemple, en quatre fonctions ayant respectivernlent
pourecoupures MCDM,, MN, Mi N1,I Mi CD N4. La conclusion est analogue
si L lirnite un espace lacunaire. On peut, en definiiive, decomposer, danis
tous ics, cas, la foncLion F(x) en une soinme de fonctions doni chacutne esi
holomorpite danZS laiirc extericiu7 e&a un conto0ur ferinde ou a' u-ne ligne
non fe7rinde ne sc coupant pas.
Quand L est de'composee en deux conpures L', L"IC l-e'sidlu de F (x) relatif 'a Uest e'gala'i la valeur de l'inte'grale 'ff (z-) dzI f 1(x) n'admettaut
que la conpure L' qn'eutoure a. Ces re'sidus jouissent des proprkie'es ordinaires. Si plusicurs coupures L' out des points 'a linfini, la fonction f(z)
qui a pour conpure L' est la Somme de plusieurs fouclions doni chacunec
admet pour conpure une des lignes L' et une cerLaine ligne L, arbitraire,
ayaut uni point 'a l'infini, ci qui disparailL dans certains ceas.
Les me'mes remarques sFplqet' afnto (x) et, par suite, h lit
decomposition en prodnit.
2. La fonction F(x) e'tant rameneue 'a une Somme de fouctions plus sunples, on peul chercher 'a de'velopper ces fonctious 'a l'aide des series C'tudie'es plus haut.
Ii est facile de decomposer dans tons les cas F(x) en une Somme de foncp
tions 2:,(x), auxquelles le de'veloppemeni (i) s'applique, pui~sque celteforum de de'veloppement convient pour tonLic fouction f(x) holomor101phe (h
l'exte'rieur d'nne ligne (fcrme'e on non) qni ne se coupe pas. La fonction
P.