Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULItRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. I1

119

a? l'infini, le r~sidu du point z - cest le coefficient de I~change' de signe,
x
dans le de'veloppement de F(x) 'a 1'exte'rieur d'un cercie de rayon suffisamment grand. Si le point z - oest un point Sin1gulier de F(x), le re'sidu relatif 'a la coupure L' est la valeur de l'inte'grale 2 fF(z) clz prise, dans le
sens inverse, le long d'un contour ferme' entourant toutes les singularites,
sauf L'.
Ce qui pre'cede s'applique 'a la fonction F' (x); quan~d F(x) ni'a, dans le
plan, qu'un nombre fini de zeros on de singnlarite's, on en conclut, en 'n-L
grant et en passant du logarithmo 'a la fonction, que F(x) pent se da'velopper ainsi
AI' f2l *... Ifi n ayant respectivernent qn'nno singulariV L1, L2,...,~ Ln. Si
l'on appello ordrc de la conpnre Li lFinte'grale ' F' (Z) dz la so7mme des
2 1'76 1(,z)
07rdres det F(x) est nulle dans le plan.
Rernarque. - Il est possible, dans bien des cas, de ddcomnposer- une singularite' forme'e d'nne ligne continue en plusienrs ordres, grace aA lobservation snivante
Soit L tine coupuro non ferme'e de F(x); A et B sont ses extrerni6s, C
nn point de AB. Posons
f (X) F 1id
(a- d~signantL nn contonr fernie' ne contenant quo la coupuro L). S'il existo
un chomin I, traversant AB an point C, et sur lequel IF(x) Ine croisse pas
ind~finiment, on pent decomposer f (x) en une sommo de doux fonctiois,
qui u'adrnettenL respectivement comme conpnre que AC et CB. En effet, I
rencontre c- anx points M et N et decomnpose cTen dexpr Ie ~t 072 formant a-vec I denx contours ferne's g, -f- MIN et o-2 + FNM, qni contiennent le
premier AC, le second BC. On pent e'crire
f4(x) est de'finie ponr toute valenr de x exte'rieure 'a AC, car on pent tonjours tracer un contour cr', laissant 'al'exte'rieur le point x et entourant AB: