Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

P. PAINLEVE.

CHAPITRE II.
1. Soit F(z) une fonction uniforme de z qui ne presente dans le plan des
z qu'un nombre fini de singularites L1, L2,..., L, (coupures, espaces lacunaires, points essentiels ou poles): L,, L2,..., L, n'ont pas de points
colnmuns. Cette fonction peut se mlettre sous la forme d'une somme de
n fonctions n'admettant chacu7e da7zs le plan qu'une singularite.
11 suffit, pour le voir, de repeter le raisonnement employe par M. Bourguet dans le cas des points singuliers. On trace n contours s, s2,..., s,,,
coiprenant chacun a son interieur une des singularites et une seule: quand
la ligne Li est fermee et n'enclot pas un espace lacunaire, le contour si est
multiple. La fonction F(z) (qu'on suppose reguliere a l'infini) est holomorphe dans l'aire S exterieure aux contours si et interieure a un cercle C de
centre O et de rayon assez grand pour enfermer toutes les coupures Li. Si
x designe un point de S, s le contour de cette aire, on a
F(x) --- -_ _-...-t- %-... —.
2 i z - x 21i| z -X s Z-X -Z -x
La premiere integrale est une constante 2ii/; lintegrale f Jz) (d
definit une fonction de x holomorphe a l'exterieur de Li, car on peut prendre
si aussi voisin de L qu'on veut sans changer la valeur de l'integrale pour
les points x exterieurs a si: F(x) se met donc sous la forme
F (x) = / + f, (x) +f 2(x) +... /, (X),
chacune des fonctionsf,, f2,..., f, n'admettant qu'une des singularites L,,
Le cas o F(x) n pas holomorpe a infini s ra au pr.dent
Le cas ou F(x) n'est pas holomorphe a l'infini se ramene au precedent,
en posant z -; F(x) est alors une somme de n fonctions dont l'une
a, pour lignes singulieres, plusieurs lignes L' ayant des points a l'infini.
Le long de s, l'int6grale F(z) dz est nulle: si donc on appelle residu
de Li la valeur de l'integrale I - i F(z) dz, on voit quo la somme des 7residus de F(x) dans le plan est nulle. Quand la fonction F(x) est holomorphe