Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULItRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 5

115

sonnement prece dent; miais, dans ce cas,
A est le re'sidu de la surface-coupure s.
Les de'veloppements (3) et (5 ) s'X'tendent de la meme maniere. Ii suffit
d'entourer la surface convexe s de sphe'res I qui lui soient tangentes en
chaque point, et Pon voit que
V,1 ant tin polyno'me de degre' n en x, yz aifait ' I"qato
1-1 en re'sulte qnie
P/I (wIY, z') etant un polyno'me de degre' n en x, y, z-, qui satisfaiL 'a e'~quationl
AP - o. II suffit, pour que le the'oren7me soil exact, qu F(x, y, z) soiL continue sur s; car, en appliquant 'a la surface S la me'thode de C. Neuman,
on met la fonction F sous la forme
F (x, yz)zz- j t ) d~ds,
6 e'tant une certaine fonction continue de / et de 0. En raisonnant sur ceite
integrale comme dans le premier cas, on voit qne la fonction F(x,y, z),
continue sur s et i-e'gulieire clans 5, pent se de'velopper, dans cc volume,
en une sedrie depolyndmes P,,, satisfaisant a' e'quation AP, o.
Discussion. - On de'montre (comme dans le cas du plan) que, si
(it _ S2 ) ne s'annule en aucun point de s, on pent-trouver un rayon It
assez grand pour que toutes les sphe'res tangentes 'a s et de rayon r- coin_prennent S 'a leur inte'rieur. Si (7ri - S2) s'annule en des points on stir des
lignes de s, le the'ore'me subsiste, car it suffit de decomposer l'int~grale en
deux parties, dont l'une, relative aux parties stngulie'res de la surface, pent
etre prise aiussi petite qn'on veut. Quand (_ 2 s'annule sur une portion
finie de s (s comprend un fragment de surface developpable), ii faut avoirl