Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVE.

serons de'sormais qn'en pareil cas on remplace P +-~ iQ par f(z), et ainsi
pour tolls les points analogues:ces points penvent former des suites ayant
pour Iiniites d'autres points z', z",.. Si ces points z' sont ponrf(z) des
discontinuite's du me'me genre, on les supprinie comme les z0,. Cela fai~,
1'ensemble E pent comnprendre certaines lignes isole'es L0,, telles que z, tendant d'nne manie're quelconque vers nn point ~ de L0, la valeur de f(z)
te~nde vers une limite a() La fonction? (z), qui co'incide avec J(z) en dehors de L0, et prend sur L0, les valeurs a(~), est, comme nous le verrons,
holomorphe dans le Yoisinage de L0,. On pent citer comme exemple l'expression.I)+iQ~i~f(~)sinxf f( z.)sin3x' f (z) sin 5X2
1(z) e'tant holomorphie sur Ox. Nous remplacerons la' encore J(z) par
(z et ainsi pour tonLes les singulariLe's analogues. En defmnitive, s'il
existe une fonction?(z) coincidant avec P -i- iQ en dehors de l'ensemble
E, continue et par suite holomorphe en certains points E' de cet ensemble,
on substit ue? (z) 'a P ~~ iQ.
Ces Singularite's parasites e'limine'es, quelles sont les discontinuite's que
presente P -i- 'Q?
Si l'ensenmhle E est ponctuel, les points singuliers de P -+ iQ dans a sont
des p6les on des points essentiels.
Si lFensemble E esL line'aire, la fonction P +-~ iQ esL en ontre affecte'e de
coupures. Ces coupures sont isole'es on sont les limites de suites de points
essentiels on de conpures. Dans le second cas, P -+- iQ est ne'essairement
discontinue on inde'termine'e aux environs de la conpure. Dans le premier
cas, soit L la lig'ne conside'r~e': quand z tend vers un point quelconque de
L en restant du cotW C de L, P +i iQ pent tendre vers une certaine valeur
f (~); dn c6te' oppose' C de L, P +~ I Q pent prendre 6'galement sur L la suite
de valeursf, (u), qni doit diff6rer de fQ~). 11 est possible, an contraire, que
d'un ctS de L (on des deux c6te'), pour des points ~ infiniment voisins sur
L, on n eme pour tons les points de L, P +4 iQ ne tende pas vers une limite
quand z tend vers sur un chemin 1, on que cetI~e limite de'pende du chemin
1. Dans tons les cas, Pexpression P +d I'Q pent n'avoir ancun'sens sur L, on
ses valeurs pour les points de cette ligne sont entie'rement inde'pendantes des
valeurs qu'elle prend aux points voisins..Si 1'ensenmhle E est superficiel, P -v- iQ pre'sente dans a7 des espaces lacnnaire's g', a77/.En tout point E de ces espaces, P -+ i Q pent n'avoiir pas de