Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIE'RES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.''

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la Live de de'veloppement pour les fonctions V(x, y) de deux variables qui
satisfont 'a e'~quation AVY - o. Si l'on en-visage les fonctions de trois variables qui satisfont 'a la me'me equation, le premier de'veloppemenL, base'
sur la representation conforme, ne comporte pas d'extension naturelle.
Mais les de'veloppements (2), (3) et (4) se ge'neralisent sans difficulte'
Soient, en premier lieu, une surface ferme'e quelconque s, sans angle rentrant; a, (3, y un de ses points (cc, (3, y sont fonctions de deux parame'res 0
et t). On pent en chiaquie point cz, (3, y construire une sphe're de centre
a, b, C,' tangente 'a s eL exte'rieure 'a cette surface. Soit, d'auLre part,
F(x, y, z) une fonction qui satisfait 'a AF o,0 reguli~re dans le volume S
eL conbinue ainsi que ses de'rive'es premieres (ou ainsi que -dF sur s:
d -
F (x,y z) I ~Jd ---F ds,
dn dn
I I - ~~~~~~~ YV,1(x -a, y b, z-c)
1'(x 02pi-(y( 3)2+-(zy)2 n=O
c L
d d - d! a! a!
dnt - x Oy Oz I
n=O
a, b, c,?~,1. v sont fonctions continues de 7., 3, y, par suite de I et 0, sauf
pour les lignes singulie'res de s. On pent e'erire
27rF(x- y, z) -ffVI/,,(x - a, y - b, z - c a
en reunissant V-(,,,) et V'_. Soit a7 la surface lieu des~ centres a, b, c; Onl
peut construire une surface S' forme'e de fragments de sphe'res ext~rieurs
at s, tournant vers s leur convexitU' et inte'rieurs 'a -. Soient A, B1 C,
AA Bk CA les centres de ces sph'res; la fonction
V"I,,(x- a,y- b, z-c)
se meL dans s' sons la forrue
p n
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