Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVIE.

On sait que, dans un certain champ,
n=oo
GI: U)_ D [ kD (a) H (a)].
n =0
En particulier, pour a = o, l'equation (i) devient
(2) z ~oa (z) ) a '+
I — f(z)
et le premier membre du developpement prend la forme
n(~) F(~)(I +f) F(r)
G'( (I - f)2 C-[(I -f)(f + f')- f'(x +f )]- I t +(I -a) (f +j" )
en tenant compte de (2). Par suite,
F( )'C1 D ( ' FF(a)_
+(I -0)0(f -+t Uf' - - i+-. I +J" + f
(Pour ca =, ' x.) D'apres la condition connue, cette serie converge
pour a = I, si x reste interieur a une courbe fermee comprenant l'origine
et telle que, tout le long du contour, (-) soit inferieur a i. La condition
peut s'ecrire
x ++ <
z+J < I [ =zf()].
Si donc il existe une aire S telle que, x etant un point interieur quelconque et z un point du contour s, le module de x — soiL plus petit
z +q(z) soit plus petit
que l'unite, P,((x) converge dans cette aire et represente F(x). Ceci
resulte egalement du theoreme etabli precedemment. Mais inversement,
pour demontrer ce theoreme en partant de la serie de Lagrange, il faudrait
prouver qu'a un contour convexe donne s correspond une fonction h(z)
verifiant la condition enoncee. Or la recherche de ~(z) revient pr6cisement
a celle de la fonction designee par P + iQ; c'est cette recherche qui constitue d'ailleurs la seule difficulte de la premiere demonstration.
6. De'eloppement en series des fonctions V(x, y, z) satisfaisant a
l'equation AV o et re'gulieres dans un espace quelconque. - A chaquc
forme de developpement indiquee plus haut, correspond une formc corre