Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVE.

est independante de F
q=P
v - * ' * (P - + i) _ (o ) ( ) + g)t
q. 2o.. q
q=0
La quantite u" est la valeur pour z =- o de Dq,
Iq= D=o [g x -+ z(I- g)]'*.
C'est docn un polynome en x de degre n, de la forme x,-qf(b - xB) et dont
les coefficients s'expriment en fonction de u(o), '(o),.., uq(o), par suite
en fonction de g(o), g'(o),..., gq(o). Posons
8g(z) -- ao-+- az -... - a,,'z -4-.,
u(z) - _gx + z ~ zg-= bo — bz +...4- b,,z 4....
-- ax + (a, x - - aIo) + - z(a2x - a,) +.. — z'l(alx - CIa.-) +-...
On voit que
b - Z&,,(o) gx - (~)
bft - ~ x --. 2... it I. 2... (n - i)
Ceci pos6, elevons u a la puissance n et cherchons le coefficient Bq de zq.
D'apres une formule connue,
Bq-! t c b- obx b...a.
a1! a i!.2.. OCq!. q
Les a0, a,,..., q sont des nombres entiers positifs verifiant les deux
6galites
ao 0- 1.... -h oCq - n,
a.1 +- 2 a -...- qaq - q.
II en resulte que
it7/ _I - n-__ - b/Oo ~b
q_!2 o... a!0 q.
Telle est l'expression directe des polynomes Pn(x) en fonction des constantes g,, go, *') gn(o).
On peut aussi exprimer les ui en fonction des polynomes d'indices inferieurs, en partant des identites,,+l - DP+' itp+' - ( - I- ) tD t-1)l i '
"p+l - "=0 p+l (\- + ) Q Dp+1,