Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SURt LES LIGNES SINGULIE'RES DES FONCTIONS ANA LYTIQUES. io

I o 5,

encore possible, pourvu qu'a' chaque point Ai corresponde un chernin mA1
dans S, le long duquif F~ dz tende vers une limite (x de'signant un pointL
de 5). Nons verrons en effet plus loin qne la fonction F(x) pent se d'composer alors en nne somme de fonctions, holomorphes respectivement 'a l'exte'rieur de lignes A, A,, A,2A....La premie're se de'veloppera en series
de polyno'mes 'a l'inte'rieur d'nne conrbe convexe ordinaire A, A2, MA, entonrant 5, et ainsi des antres.
Ii suffit me~me qn'il existe nne se'rie de polyno'mesf(z), convergente dans
S, et telle que la diff~rence F(z) -f(z) re'ponde 'a la condition e'noncee.
Ceci est toujonrs possible quand la fonction F admet les A1, IA2,I..., IA,
comme points singuliers isole's. Plus ge'neralement, nones indiqueronls dans
le Chapitre II d'autres cas out l'on pent decomposer la coupure s en coupures partielles A, A2.
Si, en plusieurs points A., A2,., A,,, la conrbe a nn contact d'ordre
superieur avec sa tangente, F(z) edianh continue snr s aux. environs de ces
points, on decompose Finte'grale en deux partiesf et f, d~signant titj
fragment de s qui comprend tons les points A,,, et qui'on pent prendre aussi
petit qu'on vent; en faisant tendre cTvers o, on volt que le de'veloppeml-ent.
subsis te.
An cas contraire (et ceci s'appliqne anssi bien qnand s n Iest pas convexe),
s'il existe nn poin a Ie qn'en posant z4, la fonction F1 (x1) F (x)
soit holomorphe dans iFaire S, convexe, et dont le contonr s, n'a pas de
singnlarit6, F(x) se met sons la forme I P~j ' ) Le, point a exist(e
touji ours, quand il n'y a snr s qne deux points A,, A2.Lorsque s est nne conrbe quelconque, on pent, tonLj onrs la decomposer en
parties A, A2 assez petites, soit ponr qne les tangentes en chaque point Ml
icurs Y1(l), Y1 (l), admettant une de'rivde premi~re continue, il en est de ne'me des (iCux
dari-v es partielles.
d3Z
Quand, le long dc AB, dl-3 existe et est continu, si V(x,y) prend sur AB des -valeutrs
V(l) ayant une d6rivdc premi~re continue, ia fonction conjugu6e est continue sur AB. Si,
le long du medme nrc AB, V(~, y) prend des -valeurs YI,(l) admettant une dGriv~e seconde,
etTsont continues sur AB. Ces propositions soni utiles dlans l'inte'gration de l'quation
~i deux- variables AV= -.

P.

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