Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.9
Par exemple, l'ensemble E sera compose' de points infiniment voisins (ou
neme de tolls les points) de plusieurs lignes. Ces, lignes peuvent e'tre ellesmemes en nombre infini et former des suites ayant pour limites des lignes
ou des points. A ces ensembles de lignes, s'6tend imme'diatement la classification de M. Cantor sur les ensembles de points:le mot ligne remplace
partout le mot point, une ligne pouvaut parfois se re'duire 'a un point.
En dernier lieu, il est possible que les points E soient distribu~s dans des
aires finies &, a",.. c'est-h-dire qu'une portion de ces aires, Si petite
qu'elIle soit, en renferme un nombre infini (l'ensemble E comprendra par
exemple tons les points d'un certain espace). L'ensemble sera dit alors Super/iciel. Les aires cr', a",... peuvent e'tre en nombre infini et former des
suites ayant pour limites des points ou des lignes.
Telles sont les dispositions possibles dans crdes points singuliers de l'expression. P (x, y) +i i Q (x, y). En chacun de ces points, une au momns des
fonctions P, Q est soit discontinue, soiL inde'termin~e, ou n'admet pas 'a la
fois de de'rive'e partielle par rapport 'a x et y, ou bien enfin ces de'rive'es
partielles ne ve'rifient pas les deux 6galite's
OP OQ OP d Q
Supposons tout d'abord que les points E ne forment, pas dans cr un ensemnble superficiel. Si, dans ce cas, la fonction P +i iQ est continue dans a7,
il sera de'montre' plus tard en toute rigueur qu'elle est ne'cessairement holomorphe dans le me'me espace. Les points E sout douc des points de discontinuite' de P -i- i Q. Un premier genre de singularite' qu'il convient de distinguer est le suivant: soit z0, un point isole' de l'ensemble E, tel que, z tendantL
vers z0 d'une facon quelconque, P ~~- i Q tende vers une certaine valeur a;
pour Z -ZO0I P +i iQ est discontinue ou inde'termine'e. Appelons f (z) la
fonction de z, qui coincide avec P -i- iQ en dehors de zo et prend pour zQ,
la valeur a. Cette fonction est holomorphe au point zo. Une telle discontinuite' est purement apl~arente. Un exemple trez's simple en est fourni par
1'expression
4X2_ y) f (z) sin 3(X2~ 3"1,) f (z) sin 5(X2 +_y2)
oii f (z) est holomorphe et diff~rent de zero hFloriginc: P -d-iQ -J(z),
quiel que soit z, sauf pour le point z =o oii P -+- iQ est nulle. Nous suppo