Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. Io3
fonction est holomorphe dans S, sauf au point z - o, qui esl un pole du premier ordre;
- - 0 -H(i
p id tq +- 4 (z)
z
(3 etant holomorphe dans S), o + i est la valeur de w + i'W pour
- =o, et contient une constante reelle arbitraire (w w, + C), que l'on
determine par la condition que w soit nul pour z o. Alors
p +- iq - - -k(z).
Soit
co(x, y) -- p dx - q dy.
X o, Yo
D'apres le lemme III du Chapitre II, si (x, y,) et (x, y) sont deux points
de s,
o (x, y) - p dx --- q dy,
OX, Yo
l'integrale etant prise le long de s.
Mais, le long de s,
p dx + q dy - F' (0) d:
done
(x,y) -- F(0) + C.
D'autre part, o(x,y) est de la forme P0 + k, (x,y), la fonction k, 6tant
reguliere dans S. Quand 0 varie de 27, F(0) augmente de 27i, par suite
P =. Ceci pose, faisons C = o, et comparons les deux fonctions co ct il de
x, y. La difference D(x, y) co(x,y) -- Q(x,y) est uniforme et reguliere
dans S ou elle satisfait a l'equation AD o; elle s'annule sur le contour s.
Elle est done identiquement nulle. L'expression d xo + ys relative h
une courbe C tend bien vers F'(0) quand C tend vers s.
L'existence de la fonction P i- iQ est done etablie en toute rigueur pour
toute courbe s pour laquelle dl2 est continue, et qui n'a en chaque point
qu'un contact simple avec sa tangente (').

(1)I1 resulte de ce qui precede que, pour toute courbe s verifiant les conditions precedentes, la fonction z = cp(z) qui represente S sur C admet une derivee c'(z) qui prend sur