Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

10 2 P. PAINLEVE'.
Ce point e'tabli, on voit, comme dans le cas oihi s esL analytique, que les
courbes C on U -R (R 6tant inf6rieur 'a R, ) sont des courbes ferme'es,
sans points commnuns, entourant l'origine, eL normales en chacun de leurs
points z 'a la droite z a (z - a -P -i- iQ); ces courbes tendenL vers s
quand RI Lend vers. R1.
1i faut prouver de plus qu'elles sont conwexes el n'ont qu'un cont1act
simple acec lea7rs tanzgentes. On de'montre, ainsi que dans le premier cas,
que, pour nne courbe C rx -f(O, R), y -,f, (0, RA],
dO Ox dy)
~2 arctang- arctang - -) et)~(R, 0) - H7J P, Q,, SOAsoL
des fonctions de x et y (on de 0 et X,) continues dans S et snr s; ~
est plus g-rand que zero dans l'aire S eL sur s; dO- esL e'galement positIf
en Louw point de s. Ii suffit. de prouver que Pexpression ( d- Q~ +P
[Lend vers dO?, ~(O1)' quand (x, y) Lend vers un poini t ~i de s, LdO' -41(0i)
(4 0, 3LanL les v\aleurs de ~Aet 0 an poinL t ~] le raisonnernenL s'ach5'-,vera de's lors comme pre'ce'demient.A
Envisagecons donc lexpression
Posons
ei cherchons clirectement s'il existe une foncLion p -i- iq de z telle que
q P +i p Q tende vers la valeur F1 (0) quand (x, y) tend vers le point de s qui
correspond 'a la -valeur 0. Par hypoiehse, F'(0) est continue et admnet la p&'niode 2 77; on salt qu'il en est de me'nie de )~, (0). Ii existe done une fonction
P'(O) P
WY(x, y) qui prend sur s la suite de valeurs re rgulie're dans S e L satisfaisant 'a l'equation ~W - o; conside'rons la fonction de z, w +J, iXV, et soiL
P -v- / q la foncLion p -+- iq r~pond 'a la condition e'nonce'e. Ceti~e