Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

IO11

De plus, P et Q ne s'annulent pas a la fois sur s; sinon R(x,y), egale a
L \/P2 -+ Q2 -- Lp, deviendrait infinie en un point du contour s.
Posons
P -- i Q =p.- i = h (z).
Le long de s, P, -+ iQ, est continue, et P, dx-Q, cdy-o. De plus,
P -+ iQ etant holomorphe dans S et ne s'annulant que pour z o,
Pl+iQ-z, -- H(z)
[H(z) est holomorphe dans S]. Considerons l'integrale
x, y
Pldx - Qdy U(x,y);
elle est independanLe du chemin suivi entre (x0, y,) et (x, y), pourvu que
deux chemins diffcrents ne comprennent pas l'origine. Elle est de la forme
aoLp - 9 + I(x, y)
[u(x,y) etant reguliere dans s]. D'apres le lemme III du Chapitre 1, si
(Xoy,), ct (x,y) sontdeuxpoints de s, et un chemin quiles joint 'a l'inte~ x, y
rieur de s, les deux integrales P, dx Q- dy prises, l'une sur le chemill
1, l'autre sur s, sont egales. Comme on a P, dx - Q, cy = o sur s, U prend
sur s une valeur constante. L'inegrale P, dx — Q, dy est done nulle, Ce
comme, d'autre part, elle est egale a - 2a7, on voit que = o. Multiplions
enfin P i- iQ par oc, U(x,y) est divisee par a, et prend la forme
Lp -- u(x,y);
sur s, U(x,y) est constante et egale at R,. Comparons cette fonction au
logarithme neperien de I (z), p(z) etant une des fonctions qui representent d'une maniere conforme l'espace S sur un cercle de centre 0 et de
rayon eRl, et qui de plus s'annulent a l'origine. La difference
L I () I-U(x,j)
est une fonction U, (x,y), reguliere dans S, satisfaisant a AU, - o, et s'annulant sur s; elle est done identiquement nulle.