Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVE.

On peut trouver un nombre a, assez voisin de l'unite pour que, a etant
compris entre i et a,, on ait
K(a,) )- K(i, y) I <
quel que soit p.
Considerons J(a,?):
--? Id -- -2a _acosY
I -)I- a2 2-a cos + sin dr + I - a2 -- 2 a cos
-=G'(0) J((a,?) -+ J2(, 9).
Admettons, pour un instant, qu'il existe un nombre ca' assez voisin de i
pour que, a' et a" etant compris entre a, et i, on ait, quel que soilt,
J1(a', ) -J,(a",?) I < n.
Remarquons que la difference O(p + ) — 0(y) a le signe de 4; par suite,
dans l'integrale J,, tous les elements sont positifs; J2 s'obtient en multipliant tous ces elmnents par une quantite ~ de module inf6rieur ah '; ptar
suite,
J2 -- aJi,
| 1 etant inf6rieur ai y', et la diff6rence
J(a',?) - J(ad, c) - G'() [J (a', ) - J (a",?)] - 'J (a', 9) - c"J (a", )
(J l1 et I [" sont inf6rieurs 'a Y). Soient M le module maximum de G'(0),
quand 0 varie de o a 27z; m la valeur maxima de J,(a, c). Si a' et a" sont
compris entre i et a,, on a
I J(ac, qp) - (aa", cp) < n (M + 2m 7 ).
M est independant de 8, m decrolt avec 3, par suite, avec '. On peut done
choisir ~Y assez petit pour que
Y (M -- 7+ ) soit inferieur a -
2
En definitive, il existe un nombre A assez voisin de i pour que, a' et c"
etant compris entre i et A, on ait
I R,(o', c) - R (a', ) I < a,

quel que soit? (r e6tant un nombre donne, aussi petit qu'on veut).