Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULI1tRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 9

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On sail qu'il existe une fonction O.', re'gulie're clans 5, satisfaisanlt 'a l'e6qtalion A~~o, et prenant sur s la suite continue de valeurs G(O). De'signons
par li la fonction conjugue'e de
L (P -+ iQ) - I — R — if~'-i Lz,
P +i iQ11 suffit d'e'tablir que R prend sur s une suite continue de valeurs.
Solt z I XI -~- i"y, une des fonctions de z qui repre'sentent d'une rnanie'nc(
conforrne l'espace S sur un cercie C, ayant i'origine pour centre et de
rayon i; R(x, y) devient une fonction R,(x,, y,) quand on rermplace x et
yen fonction de x1, y,; Ri (xi y,) est re'gulie're clans C et satisfait 'a l'qtialion AR, o.
A chaque point z de s correspond un point;1., de la circonfe'rence C, et
reciproquemenL; 0 est une fonction continue de yqui croitL constamiment
aveec~ et autgmente de -27C en merne temps que (pde'signe l'angle que fAil
avec Ox, la droite qui joint 0 'a z,); G(0) est une fonction continue de
G, G (y~). A une constante refelle pre's, lR(x,, /4) est clonn6e par l'inte'grale
2 7 +a- 2(?Y iGI()s,
(a et ssont les coordonne'es polaires d'un pointz,). Remarquons que
E tend vers o avec AG, et, quand G'(0) est continue entre o et 2T-i (cc qui cst
l'hypotlhese) on pent trouver un nombre A, assez petit pour que, IAO 1I taut
infe'rieur 'a A,1, I EI soiL infe'rieur 'a un nombre ~, qu'on pent prendre aussi.
petit qu'on vent, et cela pour tontc valeur-de 0 entre o et 2T7c.
Ii s ensuit qu'on pent trouver assez petit, pour que, 6tant plus petit,
clue 0,
6tan infe'rieur 'a ~ quelle que soit la valeur de cp entre o et 2T,:. [Dans
G'( 0),7 0 represente la valeur de 0 correspondant 'a~.
On aura done
27R, (xl, YI) z_2 7, c(a,+Jia,?)d
P. [3~~~~~~a-2aes

P.

i 3