Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVTE.

Soit B la plus petite valeur de P' sur s; dans laire S, P'(x) est au moins
egale a B; soil b le maximum de \/P - Q2 sur s, et D la distance maxima
de deux tangentes paralleles de la courbe s.
I1 suffit que r soit superieur a la fois a D et ah 4b* Cette derniere
4bB
quantiLe garde la m6me valeur quand on multiplie P -+- iQ par une constante K.
Ce point etabli, on peut toujours (sans que rien soit modifie dans les raisonnements precedents) multiplier la fonction P -+ iQ par un nombre reel
ct positif k, assez grand pour que (Vp designant le module minimum de
Db2 q- 4 b2
P + iQ entre C, et s), [Lk soit superieur a D et a 7b-B * La fonction
k(P -- iQ) remplit des lors toutes les conditions exigees: les courbes C,
comprises entre C1 et so sont interieures aux cercles qui passent par un point z
de ces courbes et qui ont a pour centre; car le point a= z - kP - ikQ
esL sur la normale en z i la courbe C, et a une distance de z superieure ' r,
du c6te du centre de courbure x4, y,, puisque
= x Y —y' do = x — P. y y + x' d5,
hP,
I e6tant positif. II est m6me aise de voir que l'on peut prendre k assez
grand pour que cette condition soit remplie pour toutes les courbes C (si
voisines qu'elles soient de l'origine).
On pouvait choisir au lieu de ((z) une fonction P(z) (dont la partie
reelle fut constante sur s), et presentant dans S des singularites quelconques. Le raisonnement precedent s'applique aussi bien.
Cas oui la courbe s est quelconque. - Lorsque la courbe convexe s verifle seulement les conditions enoncees, la demonstration est plus d6licate.
Nous prouverons, en premier lieu, qu'il existe une fonction P + iQ, holomorphe dans s, et prenant sur s une suite continue de valeurs telles que
Px'-+- Q.T o.
Soit, en effet,
Q2= arc tang ( arc tang- =- F(0) sur s
F(O) crolt de 27 en meme temps que 0. Posons.= — P.- 0-= G(0) surs.