Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

88 Punktmengen.
untere Näherungsgrenze nicht leer istt), so ist ihre obere Näherungsgrenze zusamm'enhängend2).
Sei in der Tat a ein Punkt der unteren Näherungsgrenze, und sei (- die
obere Näherungsgrenze. Nach ~ 3, Satz XX ist Q( abgeschlossen, und, weil
< 9~, nach ~ 3, Satz XVIII auch kompakt. Wäre ( nicht zusammenhängend,
so wäre:
(*) (@=3 1 + -qS (W1, (S abgeschlossen, nicht leer).
Da (, (M3 fremd, ist (~ 2, Satz IX):
r ((,1 I 2) > 0.
Sei:
0 <? < r((,( ),
dann ist:
(t) r[U (0; e), u ( _,; )] >Q
Denn andernfalls gäbe es gl in U(1; e), g2 in 1 (02; e), so daß:
(tt) r (g1, 9g2) < '
Es gäbe ferner gy' in Ei, g/' in e(, so daß:
(tff$) r (gi', gi)< e; r (g2', g9) <.
Aus (tt) und (tft) aber würde vermöge der Dreiecksungleichung folgen:
r (g~', g2') < 3 e < r (e,,2),
was unmöglich ist.
Liegt der Punkt a der unteren Näherungsgrenze etwa in (S1, so sind fast
alle 11 (Q1; e). 9f nicht leer; andrerseits sind unendlich viele U ((2; O) 9,i nicht
leer. Es gibt also unendlich viele 9s~, die sowohl in 1 (~(; e) als in U (,2; e)
Punkte haben; sie mögen die Teilfolge {89nv bilden. Sei an, in 9n.,, *U1({; Q)
und a" in 91 *U ((2; 9). Nach Satz IV gibt es in 91 eine a' und a" verbindende o-Kette (o < ). Wegen (f)muß es in ihr einen Punkt a, außerhalb U ((1; e)
+ U(1 (; ) geben. Dann ist {a, } eine Punktfolge der kompakten Menge 91,
besitzt also einen Häufungspunkt b. Da alle a,, in der abgeschlossenen Menge
91 - [UI ((1; e) -+ U (~2; e)] liegen, gilt dies auch für b. Das aber ist unmöglich,
da b als Häufungspunkt von {a,n} zu (M gehört, und zufolge (*):
<< u11 (; e)+U (~2; Q).
Damit ist Satz XVII bewiesen.
Die obere Näherungsgrenze von { 91} besteht aus den Halbgeraden
x= -l, y0 und x= l, y>0,
und ist nicht zusammenhängend.
1) Auch diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 9,:
2_~ —[0, 1]; ~2tL —[2, 3].
Die obere Näherungsgrenze von {9T } ist [0, 1] + [2, 3], also nicht zusammenhängend.
2) Da sie nach ~ 3, Satz XX auch abgeschlossen ist, ist sie also ein
Kontinuum, oder besteht aus einem einzigen Punkte.