Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 5. Zusammenhängende Mengen. 87
Es folgt aus ihm unmittelbar:
Satz XIII. Jede Menge 51 ist, und zwar nur auf eine
Weise'), Summe von Komponenten.
Satz XIV. Jede Komponente von X ist abgeschlossen
in 1.
In der Tat, sei 1' eine Komponente von S1 und a ein zu 9 gehöriger Häufungspunkt von i'. Würde er nicht zu 1' gehören, so
würde, indem man ihn zu 91' hinzufügt, nach Satz IX ein zu 91' nicht
fremder, zusammenhängender Teil SS von 1 entstehen, und es wäre
nicht S-< 1', entgegen der Definition der Komponenten. Damit ist
Satz XIV bewiesen.
Darin ist als Spezialfall enthalten:
Satz XV. Jede Komponente einer abgeschlossenen Menge
besteht aus nur einem Punkte oder ist ein Kontinuum.
Satz XVI. Im 9 ist jede Komponente einer offenen
Menge ein Gebiet2).
Es ist nur zu zeigen, daß jede Komponente 91' der offenen
Menge S1 selbst offen ist. Sei a ein Punkt der Begrenzung von 91'
und ein a enthaltendes offenes Intervall. Dann muß. auch
Punkte von k — 1 enthalten; denn nach Satz II und VII ist
1' +4 zusammenhängend; wäre also 3-<1g, so wäre nach Definition der Komponenten 91'- -<S1', mithin auch 3-<59', entgegen
der Annahme, a gehöre zur Begrenzung von 1'. Da also S Punkte
von 9, - 91 enthält, ist a Punkt der Begrenzung von 91, und da 91
offen, gehört a nicht zu 91, daher auch nicht zu W1', d. h., 1' ist
offen. Damit ist Satz XVI bewiesen.
Satz XVII3). Ist {gn} eine Folge zusammenhängender Mengen,
die alle Teile derselben kompakten Menge S1 sind4), und deren
1) D. h. ist 91 sowohl Summe der Komponenten X1' als auch Summe dei
Komponenten 3', so ist jedes 1' ein 3', jedes S3' ein 51'.
2) Dies gilt nicht in jedem metrischen Raume. Wir wählen etwa für 91 die Vereinigung folgender Intervalle des t91: (- o, O], ) (n,,...)
Der metrische Raum 91 selbst ist immer offen. Eine seiner Komponenten ist
(- o, 0], und diese Komponente ist nicht offen, also kein Gebiet.
3) Vgl. L. Zoretti, Encycl. des sciences math. Tome II, vol. 1, 145.
4) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 9,:
Seien a, b, c, die Punkte:
a =(-1,0), b=(1,0), c= (0, n),
und sei 9s, die Vereinigung der Strecken:
11a C', + cu b.