Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

86 Punktmengen.
Kontinuum, jedes offene Intervall ein Gebiet. Im 9i ist
auch umgekehrt jedes Gebiet ein offenes Intervall.
In der Tat, die erste Hälfte der Behauptung folgt unmittelbar
aus Satz VII. Was die zweite anlangt, so sei 9 ein Gebiet im 9t,;
seien a und b obere und untere Schranke (Einleitung, ~ 5, S. 30)
von 9; dann ist, da 1 als offene Menge nicht aus einem einzigen
Punkte bestehen kann: b >a. Wir behaupten, es ist:
= (a, b).
Sei in der Tat c ein Punkt aus (a, b). Ist 3 die Menge aller
x c, so hat 59 sowohl mit S3 als mit 9S - e einen Punkt gemein,
und aus Satz VI folgt, daß 5 den einzigen Begrenzungspunkt c von
5S enthalten muß. Damit ist die Behauptung bewiesen.
Satz XI. Besteht die zusammenhängende Menge 5 nicht
aus nur einem Punkte, so ist sie insichdicht. Jedes Kontinuum ist daher perfekt.
Angenommen in der Tat, a sei ein isolierter Punkt von 91,
und 21 sei die nur aus a bestehende Menge. Dann sind 2/ und
SC - 9, nicht leer und abgeschlossen in 91, und wegen
wäre 21 nicht zusammenhängend. Also ist 9/ insichdicht. Ist 52,
obendrein abgeschlossen, so ist es daher auch perfekt. Damit ist
Satz XI bewiesen.
Ein Teil 5' einer beliebigen Menge 9 heißt eine Komponente
von 5, wenn
1. 9' zusammenhängend ist und
2. jeder zu 59' nicht fremde, zusammenhängende Teil von 52
auch Teil von 52' ist.
Satz XII. Jeder Punkt von 52 gehört einer und nur einer
Komponente von 52 an.
Sei in der Tat a ein Punkt von 52. Wir bilden die Vereinigung S'F
aller a enthaltenden zusammenhängenden Teile von 91. Nach Satz III
ist 5' zusammenhängend. Offenbar ist S2' eine Komponente von 52.
Denn sei S ein zu 91' nicht fremder zusammenhängender Teil von S5.
Nach Satz II ist dann 2' +- ein a enthaltender zusammenhängender
Teil von 21, und mithin nach Definition von W':
9' - -< A', daher S-< 2 '.
Also ist 5' Komponente von 59. Dieselbe Argumentation zeigt, daß
jede Komponente S von S2, die zu ' nicht fremd ist, mit 5' identisch ist. Damit ist Satz XII bewiesen.