Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

84 Punktmengen.
in Wf, und die Zerlegung
besagt, daß S9 nicht zusammenhängend ist. Damit ist Satz IV bewiesen.
Satz V. Ist 91 kompakt und abgeschlossen1), und sind
für jedes Q>0 je zwei Punkte von f verbunden durch
eine e-Kette in 9, so ist 9/szusammenhängend.
Angenommen, S9 sei nicht zusammenhängend; es gäbe dann eine
Zerlegung:
wo 91, 9f nicht leer und in 9f abgeschlossen; da aber 9 selbst abgeschlossen, sind dann auch 91, f2 abgeschlossen (~ 2, Satz IIIa).
Nach ~ 2, Satz IX ist also:
r(Q, 2)>o,
und für g < r (91, 9/f) ist kein Punkt von %S mit einem Punkte
von 9W durch eine Q-Kette in 9 verbunden, entgegen der Annahme.
Damit ist Satz V bewiesen.
Satz VI. Enthält eine zusammenhängende Menge 9f
einen Punkt von $ und einen Punkt von -- 3, so enthält
sie einen Punkt der Begrenzung von B3.
In der Tat, setzen wir:. 3-0- g, -. (S9- e)~- 2,
so sind f1 und 92 nicht leer und abgeschlossen in 9/. Da 2 zusammenhängend, sind also 91 und f.2 nicht fremd; es sind daher
9. 30~ und 5.( R-S )0 nicht fremd, d.h. es gibt einen Punkt von
92, der zu 2~ (9R- S3)~ gehört, das aber ist die Behauptung.
Satz VII. Jedes Intervall, des S1 ist zusammenhängend.
Seien in der Tat
a =(al, a,..., ak), b (b, b2..., bk)
zwei Punkte von 3. Unter der Strecke ab verstehen wir die Menge
aller Punkte, deren Koordinaten gegeben sind durch:
x___ a + A (, — a), 0 < i < 1.
1) Keine dieser beiden Voraiussetzungen kann entbehrt werden. Beispiel
im st1:
W (0, 1), 1 =. 2).
Beispiel im S*: 2/ die xl-Achse, W2 die Iyperbel 1 x x= 1. In beiden
Fällen ist /, + -= / nicht zusammenhängend, obwohl je zwei Punkte durch
eine -Kette in g[ verbunden sind, lm ersten Beispiel ist 9S kompakt, aber
nicht abgeschlossen, im zweiten abgeschlossen aber nicht kompakt.