Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

82 Punktmengen.
In der Tat, nach Voraussetzung ist:
^ = ^+$ t-n 4.. q -
wo 9, nirgends dicht in 53. Wir ersetzen nach Einleitung ~ 1,
Satz I die Folge {5Q} durch die monoton wachsende {5j}, wo:
Nach Satz XVIII ist auch 5n nirgends dicht in 8, und Satz XXI ist
bewiesen.
Satz XXII. Ein abzählbarer Teil von 9152f1 ist stets von
erster Kategorie in 51.
In der Tat, ein abzählbarer Teil von 51 51 ist Vereinigung abzählbar vieler Mengen, deren jede aus einem.einzigen, nicht isolierten
Punkte von 91 besteht, und mithin nirgends dicht in 51 ist.
~ 5. Zusammenhängende Mengen.
Eine Menge 9% heißt zusammenhängend'), wenn sie nicht
Summe zweier nicht leerer, in 95 abgeschlossener Teile ist2). Jede
nur aus einem einzigen Punkte bestehende Menge ist nach dieser
Definition zusammenhängend.
Satz 1. Gehören je zwei Punkte von 91 einem zusammenhängenden Teile von 51 an, so ist 21 zusammenhängend.
Angenommen in der Tat, 51 wäre nicht zusammenhängend:
(0) 5=5 +5,
wo 58, 32 abgeschlossen, 918, 5182 nicht leer. Sei a, ein Punkt
von 53, a,2 ein Punkt von 51 32. Ist 51' ein a, und a2 enthaltender
Teil von 91, so ist:
wo 5/' 583, 5' 3 nicht leer und in 95' abgeschlossen. Also kann 51'
nicht zusammenhängend sein, entgegen der Annahme. Damit ist
Satz I bewiesen.
Satz II. Die Vereinigung zweier nicht fremder zusammenhängender Mengen 51', 95" ist zusammenhängend.
1) Die folgende Definition findet sich bei F. Hausdorff (Grundzüge
der Mengenlehre, 244), dessen Darstellung wir uns anschließen. Vgl. auch
N. J. Lennes, Am. Journ. 33 (1911), 303.
a) So ist z. B. im 3il die Menge 5l aller rationalen Punkte nicht zusammenhängend; denn ist 59i die Menge aller rationalen Punkte <V2, w52
die Menge aller rationalen Punkte > V2, so ist 52f und 25f in 51 abgeschlossen
und - == q- WJ.