Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 4. Insichdichte, dichte, nirgends dichte Mengen. 81
In der Tat, dies folgt unmittelbar aus der Definition des Begriffes "nirgends dicht in 8 ".
Satz XVIII. Die Vereinigung endlich vieler in 58 nirgends
dichter Mengen is,,..,.. ist nirgends dicht in 8.
Sei in der Tat i( irgendeine offene Menge, die mindestens
einen Punkt von S3 enthält. Weil 91, nirgends dicht in 58, gibt es
(Satz XIV) einen zu 91 3 fremden, offenen Teil (, von (, so daß
58 S nicht leer. In (, gibt es einen zu S2 S fremden offenen Teil (2,
so daß (S2 8 nicht leer usf. für n- 1, 2,..., k. Dann ist (k ein zu
(91 + W92+... +- ) fremder offener Teil von (E, für den k5 2
nicht leer ist. Also ist nach Satz XIV 1 -,- 3 -... ~ 1k nirgends
dicht in 8, und Satz XVIII ist bewiesen.
Die Vereinigung unendlich vieler in 5 nirgends dichter Mengen
kann sehr wohl in S dicht sein'). Wir definieren: Ist {1,} eine
Folge von Mengen, deren jede in 5 nirgends dicht ist, so heißt die
Vereinigung 1 + -9-... *,... *von erster Kategorie in
582). Eine Menge, die nicht von erster Kategorie in 8 ist, heißt
von zweiter Kategorie in 23. In einer abzählbaren insichdichten
Menge ist jede Menge von erster Kategorie.
Aus der Definition folgt unmittelbar:
Satz XIX. Ist 1y von erster Kategorie in 5, so auch
jeder Teil von 91.
Satz X-X. Die Vereinigung abzählbar vieler Mengen
erster Kategorie in 5 ist von erster Kategorie in 3.
In der Tat, sei
= + + * *+,+ '..,
worin:
= n, t +,2 + * * +, i + * * n
und jedes 9n,i sei nirgends dicht in 3. Dann ist 9 die Vereinigung
aller %n,i, und da dies abzählbar viele sind (Einleitung ~ 2, Satz VIII),
so ist 9 von erster Kategorie in 5, wie behauptet.
Satz XXI. Ist 91 von erster Kategorie in 5, so ist 9A
Vereinigung einer monoton wachsenden Folge in S5 nirgends
dichter Mengen.
1) Beispiel im 9k: Sei
al a2.., an,...
die Menge aller rationalen Punkte des 9ik (~ 1, Satz II) und 9.n die Menge:
deren einziges Element an ist. Dann ist 9n, nirgends dicht, 94-+91, +-...-j-9n-,-..
hingegen überall dicht.
2) Dieser Begriff wurde eingeführt von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3
(1899), 67.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I, 6