Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

8 0 Punktmengen.
offener Teil von (, der einen Punkt von t, aber keinen Punkt von
2 3 enthält, und die Behauptung ist bewiesen.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen, sie sei erfüllt. Sei B3' eine beliebige, nicht leere, in S offene Menge; dann
ist (~ 3, Satz XII):
wo ( offen. Nach Voraussetzung gibt es also einen zu 2 S fremden,
offenen Teil (S' von (, der einen Punkt b von B8 enthält. (' ist
eine Umgebung U (b), die keinen Punkt von 2S 3 und mithin auch
keinen Punkt von 2t' enthält. Also gehört b nicht zu (92S8')~, und
mithin ist 91 nicht dicht in 3'. Also ist 91 nirgends dicht in 3,
und Satz XIV ist bewiesen.
Aus Satz XIV folgt unmittelbar:
Satz XIVa. Ist 91 nirgends dicht in 23, so ist 3$-213
dicht in 3.
Sei in der Tat b ein beliebiger Punkt von 23. Nach Satz XIV
gibt es in jeder Umgebung 1U(b) einen Punkt von 93-2S 8, d. h.
b gehört zu (t —123)~; also ist 3 <(8 -5193)~, und Satz XIVa
ist bewiesen.
Satz XV. Ist 52-<3, und ist 21 nirgends dicht in 3, so ist
au.ch die abgeschlossene Hülle 1~o nirgends dicht in 3.
In der Tat, sei (E eine offene, zu 3 nicht fremde Menge. Nach
Satz XIV gibt es in ihr einen offenen, nicht zu 83, wohl aber zu
21 23 fremden Teil (S'. Weil 92-< 3 ist, ist dann (S' auch fremd zu
52 und mithin auch zu 1~o. Nach Satz XIV ist also auch 21~ nirgends
dicht in S2, und Satz XV ist bewiesen.
Satz XVI. Ist 91 nirgends dicht in 2, so auch in jeder
in 33 offenen Menge 3'.
In der Tat, wir haben zu zeigen: ist 23" eine nicht leere, in 3'
offene Menge, so ist 91 nicht dicht in 23". Nun ist jede in 23' offene
Menge auch eine in S offene Menge1), also ist 92, weil nirgends dicht
in 3, wirklich nicht dicht in 3", und Satz XVI ist bewiesen.
Satz XVII. Jeder Teil einer in 3 nirgends dichten Menge
ist nirgends dicht in 23. Insbesondere: der Durchschnitt
endlich oder unendlich vieler in 2 nirgends dichter Mengen
ist nirgends dicht in 23.
1) In der Tat es ist:
wo (, (' offene Mengen. Also
wo (~ 2, Satz V) auch (PS' offen.