Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 4. Insichdichte, dichte, nirgends dichte Mengen. 75
ist 2n]> l, und ist W~ die Näherungsgrenze von {%1}, so zieht sich
{,} auf 5 zusammen.
In der Tat, andernfalls gäbe es ein e> 0 und eine stets wachsende Indizesfolge {n,}, so daß sich in 2fny ein nicht zu 1 (51; e) gehöriger Punkt an,
findet. Da 5 kompakt, besitzt {an } einen Häufungspunkt, der gewiß nicht
zu 1 ~, wohl aber zur oberen Näherungsgrenze von { 9 } gehört, entgegen der
Annahme, es sei WO0 Näherungsgrenze von { I}. Damit ist Satz XXIII bewiesen.
~ 4. Insichdichte, dichte, nirgends dichte Mengen').
Jeden Punkt von 59, der nicht zugleich Häufungspunkt von 5
ist, nennen wir einen isolierten Punkt von 52. Sind alle Punkte
von 5 isoliert (d. h. ist 52 mit 21' fremd), so heißt ei eine isolierte
Menge2).
Das Gegenstück zu den isolierten Mengen sind diejenigen Mengen
2, deren jeder Punkt ein Häufungspunkt von 21 ist; sie heißen insichdicht3). Während die abgeschlossenen Mengen charakterisiert
sind durch:
(1) 51-<
sind die insichdichten Mengen charakterisiert durch:
(2) -2-<l1.
Aus der Definition folgt unmittelbar:
Satz I. Die Vereinigung endlich oder unendlich vieler
insichdichter Mengen ist insichdicht.
Satz II. Der Durchschnitt einer offenen und einer insichdichten Menge ist insichdicht4).
In der Tat, sei 5 insichdicht, 53 offen, und a ein Punkt von
5 23. Ist dann U (a) eine Umgebung von a, so ist auch 11 (a). 13 eine
Umgebung von a, enthält mithin, da a Punkt und mithin Häufungspunkt von 52 ist, unendlich viele Punkte von 52. Da aber
1((a). 3 -<S3,
gehören alle diese Punkte auch zu S und mithin zu St. s, also ist
a auch Häufungspunkt von 91 *S, d. h. 5 215 ist insichdicht, wie behauptet.
1) Alle diese Begriffe stammen von G. Cantor,
2) Beispiel im 91,: Die Menge der Punkte 1, -, -..,,,...; oder die
Menge der Punkte 1, 2,..., v,...
3) Beispiel im fSk: Jedes Intervall, oder die Menge aller rationalen Punkte
des.:
4) Mit anderen Worten: eine in einer insichdichten Menge offene Menge
ist insichdicht.