Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

72 Punktmengen.
Auf Grund dieser Definition ist jeder Punkt a einer offenen Menge fl
ein innerer Punkt dieser Menge: man hat nur in (*) 11(a)= — zu
se tzen.
Nach Satz V gibt es zu jedem inneren Punkt a einer Menge 1f
ein Q >, so daß:
U (a; )<
Im euklidischen 9k gibt es daher zu jedem inneren Punkt a von 9f
ein a enthaltendes Intervall (a, a,..., ak; b,, b,..., bE) derart, daß:
[a,, a, a, *; b-,,b2... bk -< tX.
Satz XV. Jeder nicht zur Begrenzung y von 9f gehörige
Punkt von 91 ist ein innerer Punkt von S9; d. h. (Satz XIV):
der offene K'ern von f1 ist die Menge aller inneren Punkte
von 1.
In der Tat, nach Satz XIV gehört jeder nicht zu @ gehörige
Punkt a von S2 zum offenen Kern von 2f, der eine in X enthaltene
Umgebung U (a) ist. Also ist a innerer Punkt von 2f, wie behauptet.
Wir definieren für jede Ordinalzahl a die c-te Ableitungl)
2f0 von 9 durch die Festsetzungen:
1. 91~ ist die abgeschlossene Hülle von 21.
2. Ist a > 0 keine Grenzzahl, so ist 1W die Menge aller Häufungspunkte von 91"-1.
3. Ist a Grenzzahl, so ist 1Ca der Durchschnitt aller 91f ( " < ).
Nach Einleitung ~ 4, Satz XVIII ist hierdurch 2" für alle a
definiert; denn es ist definiert für a=0O, und, falls für alle ß< a,
so auch für c. Die 0-te Ableitung von 21 ist also die abgeschlossene
Hülle von 91, die erste Ableitung 91 ist die Menge aller Häufungspunkte von 91, d. h. die Menge aller Häufungspunkte von 1.
Satz XVI. Jede Ableitung 2" ist abgeschlossen.
In der Tat, dies ist richtig für c=0. Angenommen es sei
richtig für alle <c a. Nach Satz VIII ist es dann auch richtig für
a, falls a keine Grenzzahl, und nach ~ 2 Satz VI, falls a Grenzzahl.
Damit ist Satz XVI durch Induktion (Einleitung ~ 4, Satz XVIII) bewiesen.
Satz XVII. Ist ca > c, so ist W91 -< 1a.
In der Tat, dies ist richtig für ca -a,; angenommen es sei
richtig für alle der Ungleichung aoc0 3<ca genügenden fl. Ist a
keine Grenzzahl, so ist 29a die Menge aller Häufungspunkte von
9W-l, und somit gilt, da 1aL-1 abgeschlossen:
DieAblie_______ 2in 1< c r~- -1 < sICo.
1) Die Ableitungen einer Punktmenge wurden eingeführt von G. Cantor.