Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

70 Punktmengen.
Wir betrachten nun die Vereinigung:
(0) I= -1
und erkennen unmittelbar, daß sie abge schlossen ist. Wir nennen
siel): die abgeschlossene Hülle von 2f. Zufolge (0) gehört ein
Punkt a zu 520 dann und nur dann, wenn in jeder Umgebung U (a)
mindestens ein Punkt von 9 liegt.
Ist 95 abgeschlossen, so ist 1 9~; allgemein ist Wo die kleinste
91 enthaltende abgeschlossene Menge, denn es gilt:
Satz X. Ist $ abgeschlossen und 9-<33, so ist auch
In der Tat, sei a~ ein beliebiger Punkt von 1~0, wir haben zu
zeigen, daß er auch zu 3 gehört. Zufolge (0) gehört a~ sei es zu
1 (und dann wegen 92-< 3 gewiß auch zu S3), sei es zu 91. Im
letzteren Falle ist a~ Häufungspunkt von,, in jeder Umgebung U (a~)
liegen daher unendlich viele Punkte von 91, mithin wegen 9l-< 3
auch unendlich viele Punkte von S3, d. h. a~ ist Häufungspunkt
von 93, und weil 3 abgeschlossen, auch Punkt von 93. Damit ist
Satz X bewiesen.
Wir bilden das Komplement R9 - 91 und seine abgeschlossene
Hülle (i - 91)0. Das Komplement hiervon: 9 -(9 -- 9)0 ist ein
offener Teil von 91, den wir als den offenen Kern von 91 bezeichnen wollen. Er ist der größte offene Teil von W, denn es gilt:
Satz XI. Sei t der offene Kern von 91. Ist 3 offen
und 3-<95, so ist auch 33-<.
In der Tat, es ist 9 —93 abgeschlossen und
91- 9-<91- S,
daher auch (Satz X):
( R- )~ -< S - S,
und somit durch Übergang zu den Komplementen:
wie behauptet.
Es ergibt sich nun vol selbst folgende Charakterisierung der
in 3 abgeschlossenen und offenen Mengen:
Satz XII. Damit 91 abgeschlossen (offen) sei in 3, ist
notwendig und hinreichend, daß 52 der Durchschnitt von
3 und einer abgeschlossenen (offenen) Menge ist.
Wir führen den Beweis für die abgeschlossenen Mengen. Für
die offenen ergibt er sich dann durch Komplementbildung.
1) Nach C. Carath6odory, Vor]. über reelle Funktionen, 57.