Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 3. Umgebungen. 67
r(S,, cj)>C für fast alle n,
was unmöglich, da alle c, zu U(S9; 9) gehören. Damit ist Satz II
bewiesen.
Ist 3 irgendeine Menge, so werden die Durchschnitte:
(a; )., U (a;;; 1 (; ). ( ); ).t
als Umgebung Q (abgeschlossene Umgebung C) von a (von 9/) in 58 bezeichnet. Auch für diese Umgebungen in $ verwenden wir gelegentlich die
einfachen Symbole U (a; p) usw. Läßt man aus einer dieser Umgebungen (in S) den Punkt a (die Menge %l) weg, so entstehen die
entsprechenden, reduzierten Umgebungen, die mit U'(a; p) usf. bezeichnet werden.
SatzIII. Ist 9 abgeschlossen und {,"} eine Folge positiver Zahlen mit lim ==O-0, so ist:
(: ) (; O,)).n(; )... In (~; 2n)....
Jede abgeschlossene Menge ist also Durchschnitt einer
Folge offener Mengen (ein o-Durchschnitt).
Wir setzen
-: = u (~; e-) U(; o2)..... (; ) '...
Dann ist offenbar
(tt) -<.
Sei nun a irgendein Punkt von T; da a dann auch Punkt von
U (91; Q), so gibt es in 91 einen Punkt a", so daß:
r(a, a )Ke"
Wegen lim 1= 0 ist also:
n= co
liman —a,
und da 2S abgeschlossen, gehört a zu 9/. Es ist also auch
(ttt) -<,
und (ft), (ttt) ergeben (-), womit Satz III bewiesen ist.
Satz IV. Ist 1 offen, und ist {a,} eine Folge positiver
Zahlen mit lim e =0, so ist, wenn
U (9i - a; e = s
gesetzt wird:
(ttt) =( ) - ) _ ) ( -...-s) -..
Jede offene Menge ist also Vereinigung einer Folge abgeschlossener Mengen (eine a-Vereinigung).
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