Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

64 Punktmengen.
Da t und e8 abgeschlossen, lehren (tt) und (ttt), daß a zu S und
2 gehört; also sind %9 und 2 nicht fremd. Damit ist Satz IX bewiesen.
Nach Satz VI und VII ist der Durchschnitt unendlich vieler
abgeschlossener Mengen abgeschlossen, die Vereinigung unendlich
vieler offener Mengen offen, nach Satz IV und V aber ist die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen, der
Durchschnitt endlich vieler offener Mengen offen. Hingegen wird
im allgemeinen die Vereinigung unendlich vieler abgeschlossener
Mengen nicht abgeschlossen, der Durchschnitt unendlich vieler offener
Mengen nicht offen sein. Wir werden die Vereinigung abzählbar
vieler (in 23) abgeschlossener Mengen eine a-Vereinigung (in 2),
den Durchschnitt abzählbar vieler (in 82) offener Mengen einen
o-Durchschnitt (in 2) nennen1).
Jede (in S3) abgeschlossene Menge 9 ist gleichzeitig eine a-Vereinigung (in 3), jede (in 2) offene Menge S1 ist gleichzeitig ein
o-Durchschnitt (in 2). In der Tat, man setze:
9=1- 4- +..+E+... bzw. 9 = 1... }^. w.
wo alle - 21.
Satz X. Ist 91 eine a-Vereinigung, so ist St-21 ein o-Durchschnitt und umgekehrt. Ist S2 eine a-Vereinigung in 3, so
ist 238- ein o-Durchschnitt in 23 und umgekehrt.
Da man in der zweiten Hälfte der Behauptung immer 3 als
neuen metrischen Raum SR' zugrunde legen kann, genügt es, die
erste Hälfte zu beweisen. Diese aber folgt unmittelbar aus:
und der Tatsache, daß das Komplement einer abgeschlossenen Menge
offen ist.
Satz XI. Jede a-Vereinigung S (in 3) ist Grenze einer
monoton wachsenden Folge (in 2) abgeschlossener Mengen.
Sei in der Tat:
wo die abgeschlossen (in ). Nach Einleitung 1, Satz I ist:
wo die 9(, abgeschlossen (in 18). Nach Einleitung ~ l, Satz I ist:
S =lim W; =n + 42 + -...'+.
n= oo
1) Diese Mengen wurden zuerst eingehender betrachtet von W. H. Young,
der sie als ordinary outer und inner limiting sets bezeichnet. Vgl. W. H.
und G. Ch. Young, The theory of sets of points (1906), 63, 70, 235. Man verwechsle nicht den oben definierten Begriff,a-Vereinigung in SB", mit dem Begriff:,a -Vereinigung, die Teil von S3 ist".