Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 2. Kompakte, abgeschlossene, offene Punktmengen. 63
Menge 92, und daher auch zu deren Durchschnitt Z. Also ist T
abgeschlossen, wie behauptet.
Satz VII. Die Vereinigung endlich oder unendlich vieler
(in 23) offener Mengen ist offen (in 23).
In der Tat, sei $8 Vereinigung irgendwelcher (in B) offener
Mengen W; dann ist 23- 82 der Durchschnitt der (in 23) abgeschlossenen Mengen 2 - 2(, und somit nach Satz VI abgeschlossen (in 2).
Also ist S8 offen (in 93) wie behauptet.
Satz VIII. Ist {(}, eine monoton abnehmende Folge kompakter1), nicht leerer, abgeschlossener Mengen, so ist ihr
Durchschnitt lim 2t, nicht leer2).
Sei in der Tat a, Punkt von 9,, und mithin auch von,
2... 1,_n,. In der Folge {a,} gehören also zu jeder Menge W, fast
alle Glieder. Da diese Mengen kompakt sind, hat {a,} einen Häufungspunkt a; da die 29, abgeschlossen sind, gehört a zu allen 92,,
und mithin zu deren Durchschnitt, der also in der Tat nicht leer
ist. Damit ist Satz VIII bewiesen.
Satz IX. Sind 21, 2 zwei (nicht leere) fremde, abgegeschlossene Mengen, von denen wenigstens eine kompakt
ist3), so ist
r (W, 2) > O.
Angenommen in der Tat, es wäre:
r (2, 23)= 0,
dann gäbe es a, in X, b, in 2, so daß:
(t) r (an, b-) < '
Ist etwa S kompakt, so gibt es in {a)} eine konvergente Teilfolge
(tt) lima, =a=, d.h. r(a", -a)< für fast alle v.
(tt) lim a, —a, d.h. r(ana)< ü
Aus (t) und (tt) folgt vermöge der Dreiecksungleichung für jedes n
und fast alle v:
(ttt) r (b,, a) <, d. h. lmn b, =a.
1) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im 9,:
Die Mengen,-,= [n, oo) sind abgeschlossen und monoton abnehmend; ihr
Durchschnitt aber ist leer.
2) Vgl. Einleitung ~ 5, Satz XI.
3) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im R2: Sei 2
die x,-Achse: x2 = 0 und 3 die Hyperbel x x== 1. Dann ist r (2t, 3) = 0, und
29, 3 sind abgeschlossen, aber fremd.