Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

60 Punktmengen.
a vom Nullpunkte. Aus (*) folgt:
(***) lim r = + o.
= 00
Andrerseits aber ist wegen (**) für fast alle v
r (an., a)< 1 i,
und mithin wegen der Dreiecksungleichung:
r, r+ 1,
im Widerspruchle mit (***). Damit ist die Behauptung bewiesen.
Die Bedingung ist hinreichend. Wir beweisen dies durch Induktion. Für k 1, d. h. im 9~i trifft die Behauptung zu nach
Einleitung ~ 6, Satz II. Wir nehmen an, sie treffe im - k_ zu,
und haben zu zeigen, daß sie dann auch im ik gilt. Sei 9 eine
Punktmenge des 97, die der Bedingung von Satz II genügt, und sei
23 ein unendlicher Teil von 9. Für mindestens einen der Indizes
n 1,2,...,k bilden die n-ten Koordinaten x, der Punkte von B
eine unendliche Zahlenmenge. Wir können ohne weiteres annehmen,
dies sei für n- 1 der Fall. Die Projektion von 3 in den k_ - der
Punkte-(x1, x2-..., xk_-l)ist dann gleichfalls eineunendliche Punktmenge i, die daher nach Annahme mindestens einen Häufungspunkt
besitzt. Es gibt also in C eine Folge unendlich.vieler verschiedener Punkte (x1,, xz2,..., x k -k1, ), die einen Grenzpunk t (x-, x2,...
Xk-i) besitzen. Nach ~ 1, Satz VI ist dann:
(0) limX,, -=lz (n =1,2,.., k-).
v =
Zu jedem Punkte (xi,,;, x2,,..., xk-l,v) gibt es in!S mindestens
einen Punkt (x1,,, x2,.,..., Xk, ). In der Folge {xk,v} gibt es (Einleitung ~6, Satz II) eine konvergente Teilfolge {xk,,}:
lim'xk, i =X k,
und da nach Voraussetzung die Folge {xk,v} beschränkt ist, so ist
xk endlich.
Wegen (0) ist aber auch:
lim n i= x (n -1,2,.., k- 1).
Die Folge der unendlich vielen verschiedenen Punkte (xl,, x 2, v,,',
Xak,yi) aus 5 hat daher (~ 1, Satz VI) den Grenzpunkt (x, 2..., k),
der mithin ein Häufungspunkt von B ist. Damit ist Satz II bewiesen.
Eine Punktmenge % (ebenso eine Menge reeller Zahlen) heißt
abgeschlossen, wenn sie jeden ihrer Häufungspunkte (bzw. Häu