Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

58 Punktmengen.
zielen Definition des jeweiligen Grenzbegriffes unabhängig ). Wir
werden solche Sätze als allgemeine Grenzsätze bezeichnen, und
werden gelegentlich durch Anmerkungen aufmerksam machen, wenn
solche allgemeine Grenzsätze auftreten, deren Tragweite eine größere
ist, als die der bloß metrischen oder topologischen Grenzsätze: sie
gelten für jeden, den beiden formalen Bedingungen 1. und 2. genügenden Grenzbegriff, wie immer er auch sonst definiert sein mag.
~ 2. Kompakte, abgeschlossene, offene Punktmengen.
Sei R9 ein metrischer Raum, der den nun zu erörternden Begriffsbildungen zugrunde gelegt ist. Sei 9 eine Punktmenge, {a"}
eine Punktfolge, a ein Punkt von S. Der Punkt a heißt ein
Häufungspunkt der Menge 2, wenn es in % einen abzählbaren
Teil a, a...,,... gibt, so daß:
lim a' = a;
er heißt ein Häufungspunkt von {a"}, wenn es in {a,} eine Teilfolge {an } gibt, so daß:
lim a, =a.
=' O=
Eine Punktmenge heißte) kompakt, wenn jeder ihrer unendlichen Teile (und mithin jede aus ihr herausgegriffene Punktfolge
{a"}) mindestens einen Häufungspunkt besitzt. Jeder Teil einer kompakten Menge ist kompakt.
Satz I. Damit die Punktfolge {aj} der kompakten Menge
[ einen Grenzpunkt besitze:
lim a — a,
ist notwendig und hinreichend, daß {a,} einen einzigen
Häufungspunkt besitze.
Die Bedingung ist notwendig3). In der Tat, ist
lim a, ==a,
so auch für jede Teilfolge {as}:
lima, = a.
1) Hierauf hat zuerst M. Fr6chet hingewiesen, Rend. Pal. 22 (1906), 5.
Vgl. auch H. Hahn, Monatsh. f. Math. 19 (1908), 247.
2) Nach M. Fr6chet, Rend. Pal. 22 (1906), 6.
3) Dies gilt auch, wenn % nicht kompakt ist.