Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 1. Metrische Räume. 57
für fast alle n, d. h. es bestehen die Gleichungen (***). Gelten umgekehrt die Gleichungen (***), so ist:
\X, — Xl < -7, X2,nl-X1< < -7kn *, Xk,n-Xkl< 7k
für fast alle n, es gilt also (**), oder, was dasselbe heißt, (**). Damit ist Satz VI bewiesen.
Die im obigen gegebene Definition des Grenzbegriffes stützt
sich auf den Abstandsbegriff; wir nennen sie deshalb die metrische
Definition des Grenzbegriffes. Man kann auch statt vom Abstandsbegriffe vom Begriffe der Umgebung eines Punktes ausgehen, indem man annimmt, im betrachteten Raume (der nun keineswegs
ein metrischer Raum im oben besprochenen Sinne sein muß) seien
jedem Punkte a gewisse ihn enthaltende Punktmengen, seine ~Umgebungen", zugeordnet, die - wie in obiger Theorie der Abstand -
lediglich einigen einfachen Forderungen zu genügen haben. Der
Grenzbegriff wird dann eingeführt durch die Definition:,a heißt
Grenzpunkt von {a,}, wenn zu jeder Umgebung von a fast alle aß
gehören." Diese Definition des Grenzbegriffes kann als die topologische bezeichnet werden'). Sie ist weitertragend als die metrische:
in der Tat werden wir weiter unten in jedem metrischen Raum den
Umgebungsbegriff einführen und den Inhalt der topologischen
Grenzdefinition aus der metrischen folgern (~ 3, Satz VI). Jeder
metrische Grenzbegriff ist also zugleich ein topologischer, aber nicht
umgekehrt. So kann z. B. der in Einleitung ~ 5 behandelte Begriff
des Grenzwertes von Folgen (endlicher oder unendlicher) reeller Zahlen
als topologischer, aber nicht als metrischer Grenzbegriff angesehen
werden. Wir halten, der Einfachheit halber, durchweg am metrischen
Grenzbegriff fest.
Sowohl der metrische als der topologische Grenzbegriff haben
die zwei folgenden formalen Eigenschaften:
1. Ist an=a für alle n, so auch liman-=a.
2. Ist lima,= a, so ist auch für jede Teilfolge {a,} von {a,}:
lim an, = a.
Einige den Grenzbegriff behandelnde Sätze beruhen nun lediglich
auf diesen beiden Eigenschaften und sind im übrigen von der spe~) Nach F. Hausdorff, a. a. 0. 213.