Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

54 Punktmengen.
Sind a1, a2,..., ak und bl, b2,..., b endliche, den Ungleichungen:
an< bl (n= 1,2,...,k)
genügende Zahlen, so verstehen wir unter dem abgeschlossenen
Intervalle [al,a,..., a,; b b2,..., bk] des Öl die Menge aller
Punkte (x1, x2,..., x), deren Koordinaten den Ungleichungen genügen:
(i) n. = ~X_ JB (n = l, 2,..., k).
Wir verstehen unter dem offenen Intervalle (a, a2,..., ak; b,
b2..., bk), wobei nun die a, und bn auch unendlich sein können,
die Menge aller den Ungleichungen
(2) n<x < b (n=, 2,..., k)
genügenden Punkte (x:, x,..., xk). Ebenso werden die halboffenen
Intervalle
[al, a,,.., a; bl b,,..., bk) und (üa, a,..., ak; b., b,,..., bk]
- wobei im ersten Falle die bn, im zweiten die an auch unendlich
sein können - definiert durch die Ungleichungen:
(3) a, n< b^, an<xn< b (n, 2,...,k).
Insbesondere ist:
k = (-00, - 0,...,-00; + o00 + 00,...,* +00)
Satz XI, ~ 7 der Einleitung lehrt nun sofort:
Satz I. Jedes Intervall des 9, hat die Mächtigkeit c.
Wir nennen den Punkt (x, x2,..., x) einen rationalen Punkt
des Rk, wenn seine sämtlichen Koordinaten rational sind. Dann gilt:
Satz II. Die Menge aller rationalen Punkte eines Intervalles des ~9 ist abzählbar-unendlich.
In der Tat, nach Einleitung ~ 2, Satz VI und II ist (wenn
a, <b,) die Menge aller einer der Ungleichungen (1), (2), (3) genügenden rationalen xk abzählbar-unendlich. Satz IX, ~ 2 der Einleitung ergibt daher die Behauptung.
Ordnen wir jedem Punkt (x., x2,..., xM) des 91 den Punkt
(X1, x2.., Xck-1) des Rk- zu, so wird dadurch jede Punktmenge 9:
des 9k abgebildet auf eine Punktmenge 3 des 9Rk-1, die die Projektion von 9 in den 9k —1 der Punkte (x, x2,..., Xk_-) heißt.
Wir kehren zurück zur Betrachtung eines beliebigen metrischen
Raumes 91. Sei a ein Punkt, 38 eine nicht leere Punktmenge aus 9. Für
jeden Punkt b von 3 denken wir uns den Abstand r (a, b) gebildet.
Die untere Schranke der Menge aller dieser r(a,b) bezeichnen wir