Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 1. Metrische Räume. 53
endlicher Zahlen (x", x,..., x), wenn als der Abstand der beiden
Punktel):
a (xl, x2,.. xk) (, b (y, y, yk)
definiert wird die Zahl2):
(*) r (a, b) = 1/(x - yJ) + (x2 - Y2)2 +t_ + (xk - yk)
In der Tat ist dann 9k ein metrischer Raum: da die Eigenschaften 1.
und 2. offenbar erfüllt sind, muß nur die Dreiecksungleichung:
(**) 1/(x - z) — + -- + (Xk - Zk) (1 )2 + *... (xk - yk)2
+ 1/(yl - )2 + *.+ (Yk- k)2
nachgewiesen werden. Nun gilt bekanntlich, da die quadratische
Form in x, y:
k 7 k k
2( X + V y)=2 =ZU x2' + 2 n xy+ Z2v *y
l=-1 n=I n=l n=X
nie negativ ist, für ihre Determinante die Ungleichung:
k k k
2* (, n) > 0,
n=i n=l n=-1
und somit auch:
7c / kk 7c k k7?u + 2. Z 2+ Z v__> (u+2uv + V2U),
=l1 n ==1 n=l 1= n=1
und daraus durch Wurzelziehen:
) V~2 + V27v > V(u + v.
n=l n=l n=1
Setzt man hierin:
Un -- Xn Yn; vn -- Yn Zn,
so geht (***) in die zu beweisende Dreiecksungleichung (**) über.
Der euklidische 9S ist nichts anderes als die Menge aller endlichen reellen Zahlen. In ilm nimmt die Abstandsdefinition (*) die
Form an:
r (a, b)- =V(a-b a - )2 | a- |.
1) Die Zahl x, (n-= i, 2,..., k) heißt die n-te Koordinate von a. Wir
gebrauchen im 9Rk die Terminologie der analytischen Geometrie.
2) Wo nicht anders bemerkt, bedeutet das Wurzelzeichen stets die nicht
negative Wurzel.